Est $\pi$ periódico en cualquier sistema numérico?

Question

Est $\pi$ periódico en cualquier sistema numérico de base k, donde k es entero ? ¿Y cuál es la situación de este problema?

Answer 1

$\pi$ es irracional, eso quedó zanjado hace cientos de años. Eso implica que la expresión de $\pi$ a cualquier base entera $b$ será aperiódica. Si tiene en mente algún otro tipo de sistema numérico, edite su pregunta en consecuencia.

Answer 2

No. Para $\pi$ ser periódico en base $k$ debe ser cierto que $\pi \equiv m(\pi) \pmod{k}$ para algún número entero $m$ .

Por definición de mod, esto significa que $m(\pi) = \pi + nk$ $\Rightarrow$ $\pi = nk/(m-1)$ que es racional. Como sabemos que $\pi$ es irracional, obtenemos una contradicción.

De hecho, se puede aplicar el mismo argumento a todos los números irracionales. Se puede concluir que cualquier número irracional es no periódico en $k$ .

Answer 3

Según el artículo de la wikipedia sobre la representación no entera en base $\pi$ la circunferencia de un círculo de diámetro $1$ es $\pi$ que se representa mediante $10_{\pi}$ . Esta es la base $\pi$ representación de $\pi$ .

Answer 4

Si $\pi$ fuera periódica en cualquier base, entonces sería racional, y por tanto periódica en todas las bases. Esto no ocurre.

Answer 5

No para una base entera, pero sucede que $\pi=0.1111111...=0.\bar{1}$ en base $\kappa=\frac{1}{\pi}+1 \approx 1.31831$ . :)