"Fácil" (tal vez no), la pregunta acerca de la doble espacios (Álgebra Lineal).

Question

Hola a todos es mi primera vez leyendo acerca de la doble espacios y en una parte de las notas que he leído, dice: El doble del cociente del espacio de $V/U$ es, naturalmente, un subespacio de $V$, es decir, los aniquiladores de $U$$V$.

Tengo duda acerca de esto cuando dice naturalmente subespacio no significa realmente que hay una natural identificación de $(V/U)^*$ para el conjunto de todos los aniquiladores $U$ $V$ bajo un mapa de más de un subespacio?

Claramente existe una epimorphism $f: V \twoheadrightarrow V/U $ y podemos asociar el mapa de $f^t: (V/U)^* \rightarrow V^*$ $h\mapsto h\circ f$ donde $h\in (V/U)^*$, lo $f^t[\,(V/U)^*]= \{\text{the annihilators of U in V} \}$, o no existe un natural de la identificación de $(V/U)^*$ para el conjunto de todos los aniquiladores $U$ $V$ bajo $f^t$? Estoy completamente fuera de la pista o mi intuición es correcta?

Reclamo: Vamos a $f, f^t$ como se define arriba, a continuación, $f^t[\,(V/U)^*]= \{\text{the annihilators of U in V} \}$

Prueba de reclamación: ($\Rightarrow$) $T\in f^t[\,(V/U)^*]$, por lo $T=h\circ f$ algunos $h\in (V/U)^*$, es decir, $h: V/U \rightarrow \mathbb{F}$. Si $x\in U$, lo $f(x)= x+U= U$ y, a continuación,$h(f(x))= h(U)=0$.

($\Leftarrow$) Deje $T\in \{\text{the annihilators of U in V} \}$, es decir, $T(x)=0$ siempre $x\in U$. Vamos a definir $\overline{T}: V/U \rightarrow \mathbb{F}$ por la fórmula $\overline{T}(x+U)=T(x)$, pretendemos que $\overline{T}\circ f=T$, vamos a $x\in V$$(\overline{T}\circ f) (x)=\overline{T}(f(x))=\overline{T}(x+U)=T(x)$. A continuación,$\overline{T}\circ f= f^t(\overline{T})=T$, es decir, $T\in f^t[\,(V/U)^*]$.

Una cosa más, que es muy natural en la literatura de leer que si $V$ es un espacio vectorial (de un número finito de dimensiones de espacio vectorial) es el doble de otro espacio, que en realidad no significa que $V$ es isomorfo a el doble de espacio en lugar de a es el doble de otro espacio, ya que no todos los espacios vectoriales son el conjunto de funcionales lineales?

Gracias de antemano.

Edit: Si $U$ es un subespacio de $V$ (e $V$ es finito dimensional espacio vectorial), claramente tenemos $V= U \oplus U'$ y $U'\cong V/U$ ($U'\hookrightarrow V \twoheadrightarrow V/U$) entonces podemos concluir que $(V/U)^* \cong (U')^*$ y no es difícil mostrar que $(U')^*$ contienen todos los aniquiladores de $U$ $V$ es en ese camino en el cual, como dice en el libro "el doble del cociente del espacio de $V/U$ es, naturalmente, un subespacio de $V$, es decir, los aniquiladores de $U$ $V$" porque podemos identificado de forma natural con $(U')^*$?

Edit: Otra cosa: En otra parte dice: 'Si vamos a elegir una base de $V$, y la utilizan para identificar los elementos de V con la columna "vectores" de longitud n, entonces los elementos de a $V^*$ corresponden a "vectores fila" de la misma longitud'. ¿Por qué es esto cierto?

Claramente, si fijamos $\mathcal{B}= \{v_1,..v_n\}$ ser una base para $V$, cualquier elemento de $V$, dice $v\in V$ puede ser expresa de forma única como $v=\sum_i a_i v_i$, por lo que podemos asociar $v\mapsto [V]^\mathcal{B}$ que es el vector de la columna. Ahora si $\mathcal{B^*}= \{v_1^*..v_n^*\}$ es la base dual de $V^*$, lo que para cualquier $f\in V^*$ tenemos $f= \sum_i f(v_i)v_i^*$ pero no veo en que sentido se puede asociar a un vector de fila $[f]_{B^*}$, de forma natural?

Cualquier comentario sería genial. Gracias :)

Answer 1

Parece más natural (al menos para mí) para ver el doble de $V/U$ como naturalmente un subespacio de $V^*$, no $V$. Esto surge a partir de la secuencia exacta

$$0 \to U \to V \to V/U \to 0$$

que, al tomar duales (es decir, la aplicación de $\text{Hom}_k(\_, k)$, que es un functor exacto para espacios vectoriales), da una secuencia exacta

$$0 \to (V/U)^* \to V^* \to U^* \to 0$$

No es un a priori claro cómo ver $(V/U)^* \subseteq V$. Si $V$ es finito-dimensional, que uno podría elegir un isomorfismo $V \xrightarrow{\sim} V^*$, pero la elección de isomorfismo es equivalente a una opción de producto interior en $V$, y no hay canónica de la elección. Además, esta falla en el infinito-dimensional caso.

Si por un "destructor de $U$ $V$" te refieres a un funcional lineal $\phi : V \to k$ tal que $U \subseteq \ker \phi$, entonces es cierto que la imagen de $(V/U)^*$$V^*$, en virtud de la canónica mapa de arriba, es el conjunto de aniquiladores de $U$ $V$ (esto puede ser visto por la exactitud de la doble secuencia). Por lo tanto, sospecho que sus notas realmente decir (o debería decir) que $(V/U)^*$ es, naturalmente, un subespacio de $V^*$.