¿Desea $6^x+3^x=10$ tienen una solución que es un número algebraico? Me imagino que no, pero ¿cómo se puede probar tal cosa?
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Deepak
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Quería añadir esto como un comentario ya que es algo tangencial a la pregunta, pero es demasiado largo para el cuadro de comentarios.
En realidad es bastante fácil probar que las soluciones a las ecuaciones como $6^x = 10$ son necesariamente trascendentales. Primero establecer la irracionalidad. Suponga por el contrario que $x ( \in \mathbb {Q}) = \frac {p}{q}$ donde $p>q$ y $(p,q)=1$ . Factorizar ambos lados: $3^p \cdot 2^p = 2^q \cdot 5^q \implies 3^q \cdot 2^{p-q} = 5^q$ lo cual es una contradicción por la singularidad de la factorización primaria. Así que $x \not \in \mathbb {Q}$ . Ahora tienes que usar Gelfond-Schneider. $6$ es algebraico (y no $0$ o $1$ ), $x$ es irracional. Si $x$ eran algebraicos, entonces $6^x$ sería trascendental, pero claramente, $10$ no lo es. Por lo tanto $x$ es trascendental.
Es igualmente fácil probar que $3^x = 10$ también significa que $x$ es trascendental. El salto que no puedo dar es tener en cuenta ese signo de adición. Ese signo de adición, hablando en términos generales, da un "grado de libertad" adicional que permite tanto $6^x$ y $3^x$ para ser trascendental (pero sumar a $10$ ), lo que invalida esta línea de pensamiento.
Jasser
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La función $6^x+3^x$ tiene un mínimo de $- \infty $ y es una función creciente así como una función continua, por lo que va hasta el infinito en $x= \infty $ . Así que por la propiedad de integridad de los números reales, tiene que cruzar el valor de 10, ya que se encuentra entre el 0 y el infinito.
