En todo espacio de Banach de dimensión infinita existe un funcional lineal discontinuo.

Question

En todo espacio de Banach de dimensión infinita existe un funcional lineal discontinuo.

Asumiendo el axioma de elección, todo espacio vectorial tiene una base. Con una base infinita, puedo definir en un subconjunto contable $\{e_n:n\in\mathbb{N}\}$ una función $f(e_n)=n\|e_n\|$ y que $f(x)=1$ para todos los demás vectores de base.

Entonces esto determina un funcional lineal no acotado, que por lo tanto es discontinuo.

Pero este argumento, a, se aplica a cualquier espacio normado de dimensión infinita, b, se basa en la suposición del axioma de elección.

¿Existe una respuesta inteligente que sí haga uso de la condición de que el espacio en cuestión sea un espacio de Banach, y mejor aún, que evite el uso del axioma de elección?

Answer 1

No. Hay modelos de $\mathsf{ZF+\lnot AC}$ en el que toda transformación lineal de un espacio de Banach a un espacio normado es automáticamente continua. En particular, esto es cierto para los funcionales lineales.

En tales modelos, se deduce que todo funcional lineal tiene que ser continuo.

Un ejemplo de estos modelos son el modelo de Solovay, o los modelos de $\mathsf{ZF+AD}$ .