¿Son primos de una profecía autocumplida?

Question

Supongamos el siguiente proceso:

1. Vamos a empezar con el conjunto de los números primos $\{p_k\}$
2. Luego, usamos el producto de Euler ser equivalente a la de Riemann Zeta función $$\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{s}} = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \zeta(s).$$
3. Ahora $\rho$, la no-trivial raíces de $\zeta(s)$, contribuir a la Primer Función de Recuento de $\pi(x)$ en la siguiente forma $$\pi(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^{\rho}) - \frac1{\ln x} + \frac1\pi \arctan \frac\pi{\ln x} ,$$ con $\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \mu (n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n})$. (Muy bonito demostración se puede encontrar aquí.)
4. El $k$th prime $p_k$ ahora se puede calutated mediante el uso de $\pi(p_k)=k$.
5. Así que volvemos a donde empezamos: (1.) el conjunto de los números primos $\{p_k\}$ y ahora podría empezar de nuevo.

Mi pregunta es: ¿Qué pasa si una cierta primer falta en el principio? Será la falta de prime será generado automáticamente, si se itera el proceso anterior?

También sería interesante ver cómo las raíces se distribuyen. Son todavía acostado en la línea crítica de $1/2+iz$?

Hay una manera fácil de calcular las raíces directamente desde el Producto de Euler?

Lo siento por no entrar en detalles, pero creo que es a todos común de conocimientos en línea de aquí y de allí.

Answer 1

Dejando a algunos de los primos de Euler producto no afecta a la ubicación de los ceros, ya que usted va a terminar con la Zeta función multiplicada por un no-cero de la analítica de la función (que no va a producir más ceros), y la fórmula para la primer función de recuento de sólo depende de la ubicación de los ceros. Por lo que tengo entendido que su algoritmo, sí, va a "regenerar" cualquier número finito de) de los números primos que inicialmente fueron desaparecidos.

EDIT: Corregido mi errónea descripción de el término que falta como una "constante".

EDIT: Para demostrar que la continuación analítica del producto es igual al producto de la continuación analítica, utilice el hecho de que la continuación analítica es único: "Vamos a $f_1$ y $f_2$ ser analítico de las funciones en los dominios de $\Omega_1$ y $\Omega_2$, respectivamente, y supongamos que la intersección de $\Omega_1 \cap \Omega_2$ no está vacío y que $f_1 = f_2$ en $\Omega_1 \cap \Omega_2$. Entonces $f_2$ se llama una continuación analítica de $f_1$ $\Omega_2$, y viceversa (Flanigan, 1983, pág. 234). Por otra parte, si existe, la continuación analítica de $f_1$ $\Omega_1$ es único." También tenemos el hecho de que $\zeta(s)$ y $1-p^{s}$ son analíticas (y el más básico hecho de que el producto de dos funciones analíticas es analítica).

COMENTARIO: creo que su idea es bastante interesante! Sospecho que puede funcionar incluso en algunos casos en los que un número infinito de números primos son desechados.