Así que quiero demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{2}})$ es Galois sobre $\mathbb{Q}$ y determinar su grupo de Galois.
Mis pensamientos son los siguientes:
Defina $\alpha := \sqrt{2+\sqrt{2}}$ . Entonces se demuestra fácilmente que $\alpha$ satisface $\alpha^4-4\alpha^2+2=0$ .
Defina $f(x) := x^4-4x^2+2$ . Entonces $f$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ de Eisenstein con $p=2$ .
Así que tenemos que $f$ es el polinomio irreducible para $\alpha$ en $\mathbb{Q}$ .
Más información en $|\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}|=4$ .
Para $\mathbb{Q}({\alpha})$ para ser Galois, debe contener todas las raíces de $f$ .
Defina $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ por comodidad.
Defina $\alpha := \alpha_1$ .
Desde $f$ sólo tiene potencias pares, sabemos que $-\alpha := \alpha_2$ es una raíz y, por tanto, está contenida en $K$ desde $K$ es un campo.
Observamos que las otras dos raíces son $\alpha_3=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ y $\alpha_4=-\sqrt{2-\sqrt{2}}$ .
Así que para mostrar $K$ es Galois, hay que demostrar que $\alpha_3$ y $\alpha_4$ mentir en $K$ .
Ahora $\alpha_1^2=2+\sqrt2$ y así $\sqrt2 \in K$ . Así $-\sqrt2 \in K$ desde $K$ es un campo.
¿Puede alguien explicar por qué $\alpha_3$ y $\alpha_4$ mentir en $K$ ?
A continuación vamos a determinar el grupo de Galois de $K$ .
Suponiendo que $K$ es Galois, ya que tiene grado $4$ en $\mathbb{Q}$ (mostrado anteriormente), sabemos que su grupo de Galois tiene tamaño $4$ . Sólo hay dos grupos de tamaño $4$ a saber $V_4$ y $C_4$ el grupo de Klein cuatro y el grupo cíclico de orden $4$ .
¿Cómo podemos determinar cuál de estas opciones es en realidad el Grupo de Galois?
