Encontrar el límite de $\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n+1}-\left\lfloor\sqrt{n^2+n+1}\right\rfloor\right)$

Question

$$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n+1}-\left\lfloor\sqrt{n^2+n+1}\right\rfloor\right)\;=\;?\quad(n\in I) \\ \text{where $\lfloor\cdot\rfloor$ is the greatest integer function.}$$

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Esto es lo que hice:

Desde $[x] = x - \{x\}$ tenemos nuestro límite igual a $$\lim_{n\to\infty}\left\{\sqrt{n^2+n+1}\right\}$$ Moviendo el límite interior de la parte fraccionaria de la función y la sustitución de $n=\frac 1h \; \text {where } h\to0^+$ tenemos $$\left\{\lim_{h\to0^+} \frac{\sqrt{h^2+h+1}}h\right\}$$

La aplicación de L'Hospital de la Regla, tenemos nuestro límite igual a$\left\{\frac 12\right\}$$0$.

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El problema:

La respuesta en el solucionario del es $\frac12$. Así que aquí, el único problema que me parece encontrar en mi solución es que el $n\in I$ y simplemente asumiendo $n = \frac 1h$ no garantizar nuestra $n$ a ser un número entero.

¿Alguien puede proporcionar una manera para que sea correctamente asumir un nuevo valor de $n$ o de cualquier manera alternativa para solucionar esto?

Answer 1

Para cada número natural, tenemos $$\lfloor \sqrt{n^2+n+1} \rfloor =n$$ debido a $n^2\leq n^2+n+1< n^2+2n+1=(n+1)^2$. Así, obtenemos $$\begin{align}\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+n+1}- \lfloor \sqrt{n^2+n+1} \rfloor)&=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n+1}-n)\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n+1-n^2}{\sqrt{n^2+n+1}+n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{\sqrt{n^2+n+1}+n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+1}\\ &=\frac{1}{2} \end{align}$$

Answer 2

El meollo de esto es que $\sqrt{n^2+n+1}\approx n+\frac{1}{2}$ grandes $n$.

Tenga en cuenta que $$n^2+n+1=\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\implies\sqrt{n^2+n+1}-\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{\frac{3}{4}}{n+\frac{1}{2}+\sqrt{n^2+n+1}}$$

Así se puede ver rápidamente que lo suficientemente grande como para $n$, $n<\sqrt{n^2+n+1}<n+1$, por lo $\left\lfloor\sqrt{n^2+n+1}\right\rfloor=n$ eventualmente.

Así, podemos ver que \begin{align}\sqrt{n^2+n+1}-\lfloor \sqrt{n^2+n+1}\rfloor&=\sqrt{n^2+n+1}-n\\ &=\sqrt{n^2+n+1}-\left(n+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\\ &=\frac{\frac{3}{4}}{n+\frac{1}{2}+\sqrt{n^2+n+1}}+\frac{1}{2}\\ &\to\frac{1}{2}\end{align}

Answer 3

Idea alternativa para la comprobación de los hechos esenciales: la escritura $$\sqrt{n^2+n+1} = n\sqrt{1+1/n+1/n^2}$$ y usando la serie de Taylor de $\sqrt{1+x}$: $$1+{\frac{x}2}-{\frac{x^2}8}+O(x^3)$$ tenemos $$\sqrt{n^2+n+1} = n+\frac12+\frac3{8n}+O(1/n^2)$$ y $$\lfloor\sqrt{n^2+n+1}\rfloor = n.$$