Esperanza condicional de $\max(X,Y)$ $\min(X,Y)$ al $X,Y$ son iid y exponencialmente distribuido

Question

Estoy tratando de calcular la esperanza condicional $$E[\max(X,Y) | \min(X,Y)]$$ where $X$ and $S$ are two iid random variables with $X,Y \sim \exp(1)$.

Ya he calculado la densidad de $\min(X,Y)$$\max(X,Y)$, pero he fallado en el cálculo de la articulación de la densidad. Es este el camino correcto? ¿Cómo puedo calcular la densidad conjunta? O tengo que tomar otro ansatz?

Answer 1

Como se indica en los comentarios, una idea útil cuando los máximos y mínimos están involucrados, es considerar el bien adaptado eventos. Aquí, la introducción de $Z=\min\{X,Y\}$$W=\max\{X,Y\}$, uno ve que $[z\leqslant Z,W\leqslant w]$ $[z\leqslant X\leqslant w]\cap[z\leqslant Y\leqslant w]$ por cada positivo $z$ $w$ tal que $z\leqslant w$. Aquí es un cálculo: dado que la probabilidad de que una norma exponencial de la variable aleatoria es $\geqslant x$ $\mathrm e^{-x}$ por cada positivo $x$, los eventos $[z\leqslant X\leqslant w]$ $[z\leqslant Y\leqslant w]$ ambos tienen probabilidad de $\mathrm e^{-z}-\mathrm e^{-w}$. Por lo tanto, $$ \mathrm P(z\leqslant Z,W\leqslant w)=(\mathrm e^{-z}-\mathrm e^{w})^2. $$ La diferenciación de este con respecto a $z$ $w$ los rendimientos de la densidad de $(Z,W)$ $$ 2\mathrm e^{-z-w}\cdot[0\leqslant z\leqslant w]. $$ Esta fórmula está bien, pero, debido a que el indicador de funciones en ella, tengo miedo de cometer errores cuando se la usa, así que trato de simplificar. Deje $V=W-Z$, luego $Z\geqslant0$, $V\geqslant 0$, y el uso de $v=w-z$, la densidad se convierte en $$ 2\mathrm e^{-z-(v+z)}\cdot[0\leqslant z\leqslant v+z]=2\mathrm e^{-2z}\cdot[z\geqslant 0]\cdot\mathrm e^{-v}\cdot[v\geqslant0]. $$ Esto demuestra que $Z$ $V$ son independientes con $Z$ exponencial de parámetro $2$ $V$ de parámetro $1$ y los rendimientos en el pasado la respuesta a la pregunta inicial como $$ \mathrm E(W\a mediados Z)=\mathrm E(V+Z\mid Z)=\mathrm E(V)+Z=1+Z. $$ La misma técnica de los rendimientos que el fin de la estadística de la $(X^{(k)})_{1\leqslant k\leqslant n}$ de un yo.yo.d. ejemplo de $(X_k)_{1\leqslant k\leqslant n}$ de la norma exponencial de las variables aleatorias, que se define por las condiciones que $\{X^{(1)},X^{(2)},\ldots,X^{(n)}\}=\{X_1,X_2,\ldots,X_n\}$ y $X^{(1)}<X^{(2)}<\cdots <X^{(n)}$, se distribuye como $(Z_1,Z_1+Z_2,\ldots,Z_1+Z_2+\cdots+Z_n)$ independiente exponencial de las variables aleatorias $(Z_k)_{1\leqslant k\leqslant n}$ de manera tal que la distribución de $Z_k$ es exponencial con parámetro de $n-k+1$. Una consecuencia de ello es que, para cada $1\leqslant k\leqslant\ell\leqslant n$, $$ \mathrm E(X^{(\ell}\mid X^{(k)})=X^{(k)}+\sum\limits_{i=n-\ell+1}^{n-k}\frac1i. $$

Answer 2

Para dos independientes exponencial de las variables de distribución $(X,Y)$, la distribución conjunta es $$ \mathbb{P}(x,y) = \mathrm{e}^{-x-y} \mathbf{1}_{x >0 } \mathbf{1}_{y >0 } \, \mathrm{d} x \mathrm{d} y $$ Desde $x+y = \min(x,y) + \max(x,y)$, e $\min(x,y) \le \max(x,y)$ la distribución conjunta de $(U,V) = (\min(X,Y), \max(X,Y))$ es $$ \mathbb{P}(u,v) = \mathcal{N} \mathrm{e}^{-u-v} \mathbf{1}_{v \ge u >0 } \, \mathrm{d} u \mathrm{d} v $$ La normalización de la constante es fácil de encontrar como $$ \int_0^\infty \mathrm{d} v \int_0^v \mathrm{d} u \,\, \mathrm{e}^{-u-v} = \int_0^\infty \mathrm{d} v \,\, \mathrm{e}^{v} ( 1 - \mathrm{e}^{v} ) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{\mathcal{N}} $$ Así, la esperanza condicional que buscamos se encuentra de la siguiente manera (suponiendo $u>0$): $$ \mathbb{E}(\max(X,Y) \vert \min(X,Y) = u) = \frac{\int_0^\infty v \mathrm{d} P(u,v)}{\int_u^\infty \mathrm{d} P(u,v)} = \frac{\int_u^\infty \mathcal{N} v \mathrm{e}^{-u-v} \mathrm{d} v}{\int_u^\infty \mathcal{N} \mathrm{e}^{-u-v} \mathrm{d} v} = 1 + u $$

Answer 3

Si $Z = \min(X,Y)$$W = \max(X,Y)$,$w > z$, $$\begin{align*} F_{Z,W}(z,w) &= P\{Z \leq z, W \leq w\}\\ &= P\left[\{X \leq z, Y \leq w\} \cup \{X \leq w, Y \leq z\}\right]\\ &= P\{X \leq z, Y \leq w\} + P\{X \leq w, Y \leq z\} - P\{X \leq z, Y \leq z\}\\ &= F_{X,Y}(z, w) + F_{X, Y}(w,z) - F_{X,Y}(z,z) \end{align*} $$ mientras que para $w < z$, $$\begin{align*} F_{Z,W}(z,w) &= P\{Z \leq z, W \leq w\} = P\{Z \leq w, W \leq w\}\\ &= P\{X \leq w, Y \leq w\}\\ &= F_{X,Y}(w,w). \end{align*} $$ En consecuencia, si $X$ $Y$ son conjuntamente continua variables aleatorias, entonces $$f_{Z,W}(z,w) = \frac{\partial^2}{\partial z \parcial w}F_{Z,W}(z,w) = \begin{cases} f_{X,Y}(z,w) + f_{X,Y}(w,z), & \text{if}~w > z,\\ \\ 0, & \text{if}~w < z. \end{casos} $$ La densidad condicional de $W$ $Z = z$ es $$ f_{W \a mediados de Z}(w \a mediados z) = \frac{f_{Z,W}(z,w)}{f_Z(z)} = \begin{cases} \frac{f_{X,Y}(z,w) + f_{X,Y}(w,z)}{\int_z^{\infty} f_{X,Y}(z,w) + f_{X,Y}(w,z)\ \mathrm dw}, & w > z,\\ 0, & w < z, \end{casos} $$ y así, con $f_{X,Y}(x,y) = e^{-x-y}$ $x, y \geq 0$ $$ \begin{align*}E[W \mid Z = z] &= \frac{\int_z^\infty w\cdot f_{X,Y}(z,w) + w\cdot f_{X,Y}(w,z)\ \mathrm dw}{ \int_z^\infty f_{X,Y}(z,w) + f_{X,Y}(w,z)\ \mathrm dw}\\ &= \frac{\int_z^\infty w\cdot e^{-w-z} + w\cdot e^{-w-z}\ \mathrm dw}{ \int_z^\infty e^{-w-z} + e^{-w-z}\ \mathrm dw}\\ &= \frac{2e^{-2z}\int_z^\infty w\cdot e^{-w}\ \mathrm dw}{ 2e^{-2z}} = \frac{2e^{-z}[\left . (-we^{-w})\right\vert_z^{\infty} + \int_z^{\infty}e^{-w}\ \mathrm dw]}{2e^{-2z}}\\ &= 1 + z. \end{align*} $$

Answer 4

Usted puede presumiblemente encontrar$\Pr(X\le a)$$\Pr(b \lt X \le a) $$\Pr(b \lt X \le a) \Pr(b \lt Y \le a)$.

Tomar los derivados de esta con respecto a $a$, e $b$ (cambiando el signo $b$ es un límite inferior) y agregar un indicador de la $I_{b\le a}$, y usted tiene la articulación de la densidad a la cual podríamos llamar $p(a,b)$ $a$ actuando como $\max(X,Y)$ $b$ actuando como $\min(X,Y)$.

A continuación, puede trabajar la condición de la densidad de $p(a|b) =\dfrac{p(a,b)}{\int_{a=b}^\infty p(a,b) \; da}$ y la media condicional $E[a|b] = \int_{a=b}^\infty a\; p(a|b) \; da$, que será función de la $b$.

Para comprobar, recuerde que la distribución exponencial es memoryless así que si $X$ $Y$ tienen media de$\mu$, entonces usted tendrá $E[\max(X,Y) | \min(X,Y)] = \min(X,Y) +\mu$.

Answer 5

otra manera es darse cuenta de que el min y (max-min) son independientes por el memoryless de propiedades de la distribución exponencial. Encontrar la articulación de la densidad de min y (max - min) y, a continuación, aplicar la transformación de variables aleatorias,---el jocobian.