Sea $X$ sea un espacio compacto que también sea localmente simplemente conexo (cualquier punto tiene una base local de conjuntos abiertos simplemente conexos). Demostrar que el grupo fundamental en cualquier punto es finitamente generado.
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He aquí una prueba de que el grupo fundamental es finitely generado. Las propiedades requeridas del espacio $X$, lo que requerirá que es un compacto (Hausdorff) de espacio, tiene una cubierta abierta simplemente conjuntos conectados, y que es localmente ruta de acceso conectado (es decir, hay una base para la topología consta de ruta conjuntos conectados). Como, por definición, un simple conjunto conectado es también la ruta de acceso conectado, las condiciones se cumplen para cualquier compacto localmente simplemente se conecta el espacio.
Lema: Vamos a $\mathcal{U}$ ser un abra la cubierta de un espacio compacto $X$. Entonces, existe un abierto de la cubierta $\mathcal{V}$ tal que, para todos los $V_1,V_2\in\mathcal{V}$$V_1\cap V_2\not=\emptyset$, existe un $U\in\mathcal{U}$$V_1\cup V_2\subseteq U$.
Voy a probar esto en un momento, pero muestran que la primera implica que el $X$ ha finitely generado grupo fundamental. Por los supuestos sobre los $X$, podemos dejar que la $\mathcal{U}$ ser un abierto de la cubierta consiste simplemente conjuntos conectados. A continuación, vamos a $\mathcal{V}$ ser como en el lema. Por dividir cada elemento de a $\mathcal{V}$ en sus componentes conectados (que también estará ruta de acceso conectado, por la ruta de acceso local, de conexión, de $X$), podemos asumir que cada una de las $V\in\mathcal{V}$ es la ruta de acceso conectado y no vacío. También, por la compacidad de $X$, podemos asumir que $\mathcal{V}$ es de un número finito de la cubierta. Decir, $\mathcal{V}=\{V_1,V_2,\ldots,V_n\}$.
Deje $I=\{1,2,\ldots,n\}$ y, para cada una de las $i\in I$, elija un punto de $P_i\in V_i$. También, definir $J\subseteq I\times I$ a los pares de $(i,j)$ tal que $V_i\cap V_j\not=\emptyset$. Como $V_i\cup V_j$ es la ruta de acceso conectado, podemos encontrar continua $\gamma_{i,j}\colon[0,1]\to V_i\cup V_j$$\gamma_{ij}(0)=P_i$$\gamma_{ij}(1)=P_j$. Tenga en cuenta que el camino de $\gamma_{ij}$ es único hasta homotopy. Si $f\colon[0,1]\to V_i\cap V_j$ cualquier otra ruta por$f(0)=P_i$$f(1)=P_j$, entonces, por las propiedades de las $\mathcal{V}$ dada en el lema, hay un $U\in\mathcal{U}$ contiene $V_i\cup V_j$ y, por lo tanto, contiene las rutas de acceso de $\gamma_{ij}$$f$. Por la simple conexión de $U$, $f$ debe ser homotópica a $\gamma_{ij}$.
Ahora, considere la posibilidad de cualquier camino de $f\colon[0,1]\to X$$f(0),f(1)$$\{P_1,\ldots,P_n\}$. Como $\{f^{-1}(V_i)\colon i\in I\}$ cubre la unidad de intervalo, existe $0=t_0\le t_1\le\cdots\le t_m=1$ de manera tal que cada intervalo de $[t_{k-1},t_k]$ está contenida en uno de los $f^{-1}(V_k)$, dicen, $V_{i_k}$. podemos definir a la $i_0$ tal que $f(0)=P_{i_0}$ y, wlog, elija $i_m$ tal que $f(1)=P_{i_m}$.
Como $f(t_{k-1})\in V_{i_{k-1}}\cap V_{i_k}$ por cada $k$, podemos ver que $(i_{k-1},i_k)\in J$. Podemos definir un camino de $f_k$ unirse a $P_{i_{k-1}}$ $P_{i_k}$por primera emprender un camino de unirse a $P_{k-1}$$f(t_{k-1})$, luego tome $f$ restringido a $[t_{k-1},t_k]$, entonces únete a $f(t_k)$ $P_{i_k}$a lo largo de un camino en $V_{i_k}$. Se unen a estas rutas de acceso, $f_1 * f_2 * \cdots * f_m$, volvamos a $f$ (hasta homotopy de equivalencia). Entonces, como se señaló anteriormente, cada una de las $f_k$ debe ser homotópica a $\gamma_{i_{k-1}i_k}$. Así, tenemos el homotopy de equivalencia, $$ f\cong\gamma_{i_0i_1}*\gamma_{i_1i_2}*\cdots *\gamma_{i_{m-1}i_m}. $$ Ahora vamos a $\tilde I$ el conjunto de $i\in I$ tal que $P_i$ está en el mismo camino de componentes conectados de $X$$P$, e $\tilde J=J\cap (\tilde I\times\tilde I)$. Para cada una de las $i\in\tilde I$, vamos a $\gamma_i$ ser un camino de unión se $P$ $P_i$y, para cada una de las $(i,j)\in\tilde J$, vamos a $\tilde\gamma_{ij}=\gamma_i*\gamma_{ij}*\gamma_j^{-1}$ (aquí, he utilizado $\gamma^{-1}_j$ a indicar el camino de $\gamma_j$ correr hacia atrás). A continuación, $\tilde\gamma_{ij}$ son caminos de unirse a $P$ a sí mismo, y $$ f\cong\tilde\gamma_{i_0i_1}*\tilde\gamma_{i_1i_2}*\cdots *\tilde\gamma_{i_{m-1}i_m}. $$ Así, las clases de equivalencia $[\tilde\gamma_{ij}]$ $(i,j)\in\tilde J$ es finito, generando establecido para el grupo fundamental de la $X$$P$.
La prueba del lema:
Tenga en cuenta que si $X$ fue un espacio métrico, a continuación, Lebesgue del número lema implica que para algunos $r > 0$, cada bola abierta de radio $r$ está contenida en un miembro de $\mathcal{U}$, y podemos tomar $\mathcal{V}$ a ser la colección de abrir las bolas de radio $r/2$. Para no metrizable espacios que tenemos que hacer un poco más de trabajo. En realidad, se puede demostrar que cada apertura de la tapa se ha abierto de estrellas refinamiento (esto es una consecuencia de compacto ⇒ paracompact ⇒ totalmente normal), que es una versión más fuerte de la lema, aunque no lo necesitamos aquí.
En primer lugar, como el espacio de $X$ es compacto, podemos restringir $\mathcal{U}$ a de un número finito de apertura de la tapa. Decir, $\mathcal{U}=\{U_1,U_2,\ldots,U_n\}$. Voy a probar el resultado por inducción en $n$. El caso de la $n=1$ es clara, ya que nos puede llevar a $\mathcal{V}=\mathcal{U}=\{X\}$.
Ahora, supongamos que el $n > 1$. Tomando $\tilde U_2=U_2\cup\cdots\cup U_n$,$U_1\cup\tilde U_2=X$. Por eso, $X\setminus U_1$ es un subconjunto cerrado de $\tilde U_2$. Como espacios compactos son normales, podemos encontrar conjuntos de $W_1,W_2$, $$ X\setminus U_1\subseteq W_1\subseteq\bar W_1\subseteq W_2\subseteq\bar W_2\subseteq\tilde U_2. $$ Como $\{U_2,\ldots,U_n\}$ cubre $\bar W_2$, la hipótesis de inducción se da una apertura de la tapa $\mathcal{V}_0$ $\bar W_2$ (con la topología de subespacio) tal que, si $V_1,V_2\in\mathcal{V}_0$ tienen intersección no vacía, a continuación, $V_1\cup V_2\subseteq U$ algunos $U\in\mathcal{U}$.
Vamos ahora a establecer, \begin{align} \mathcal{V}_1&=\left\{V\cap W_1\colon V\in\mathcal{V}_0\right\},\\ \mathcal{V}_2&=\left\{V\cap W_2\cap U_1\colon V\in\mathcal{V}_0\right\}. \end{align} Estas son las colecciones de bloques abiertos de la topología de $X$ y, para cualquier $V_1,V_2\in\mathcal{V}_1\cup\mathcal{V}_2$ con intersección no vacía, entonces $V_1\cup V_2\subseteq U$ algunos $U\in\mathcal{U}$. Cubren $W_1\cup(W_2\cap U_1)$, que es igual a $W_2$. Además, todos los elementos de a $\mathcal{V}_1$ son disjuntas de $X\setminus\bar W_1\subseteq U_1$ y todos los elementos de a $\mathcal{V}_2$ están contenidas en $U_1$. A continuación, $$ \mathcal{V}=\mathcal{V}_1\cup\mathcal{V}_2\cup\{X\setminus \bar W_1\} $$ satisface los requisitos de la lema.
WMycroft
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He encontrado esta pregunta interesante, aquí está mi intento de solución, probablemente debería ser revisado ya que no estoy 100% seguro ...
Fijar algún punto base $z \in X$
En cada punto $x \in X$ , dejemos que $U_x$ sea una vecindad abierta simplemente conexa de $x$ . En $U_x$ forman una cubierta abierta por lo que desde $X$ es compacta podemos tomar una subcubierta finita $U_{x_1}, \dots, U_{x_n}$ donde WLOG $z \in U_{x_1}$ .
Consideremos ahora una trayectoria $f \colon I \to X$ con sede en $z$ . El camino $f$ pasa por el $U_{x_i}$ en algún orden, empezando y terminando en $U_{x_1}$ . Se obtiene así una secuencia finita $S_f = (v_1, v_2, \dots, v_m)$ donde $v_1 = v_m = x_1$ . Tenga en cuenta que cada $U_{x_i}$ es simplemente conexo, dos caminos cualesquiera $f_1, f_2$ con $S_{f_1} = S_{f_2}$ son homotópicas.
Para cada secuencia finita, $S$ de longitud inferior a $2n$ tal que si existe un camino $f$ con $S_f = S$ elegir un $f$ y que $G$ es el conjunto de todos los $f$ 's. Este es un conjunto finito, y afirmo que genera $\pi_1(X; z)$ .
Sea $f$ cualquier ruta en $X$ con sede en $z$ y considerar $S_f$ . Si tiene una longitud inferior a $2n$ entonces $f$ es homotópico a un elemento de $G$ y así hemos terminado. Si no, podemos elegir un mínimo $i<j$ tal que $v_i = v_j$ . Entonces $f$ es homotópica a la composición de dos bucles $g$ y $f'$ donde $S_g = (v_1, \dots, v_j, v_{i-1}, \dots, v_1)$ y $S_{f'} = (v_1, ... v_{i-1}, v_j, \dots v_n)$ . Ahora $g \in G$ y $S_{f'}$ es más corto que $S_f$ así que podemos repetir este proceso hasta que expresemos $f$ como la composición de elementos en $G$ .
Lo siento, me he precipitado al redactar la última parte. Si algo no está claro, avíseme y se lo explicaré con más detalle.
