(1) Si $s,u$ $w$ son todos los múltiplos de un único vector $a$, entonces podemos escribir $s=c_1a,u=c_2a$ $w=c_3a$ para escalares $c_1,c_2$$c_3$. Desde $t,v$ $x$ son linealmente dependientes, podemos escribir uno de estos vectores como combinación lineal de los otros dos. (El ejercicio.) Supongamos, sin pérdida de generalidad, que podemos escribir $x=e_1t+e_2v$ para escalares $e_1$$e_2$. El bilinearity de $f$ implica que:
$f(w,x)=f(c_3a,x)=c_3f(a,x)=c_3f(a,e_1t+e_2v)=c_3\left[e_1f(a,t)+e_2f(a,v)\right]$.
Por lo tanto, sabemos que el valor de $f(w,x)$ si se conocen los valores de $f(a,t)$$f(a,v)$. Ejercicio: usar el bilinearity de $f$ ( $c_1,c_2\neq 0$ ) sabemos que los valores de $f(a,t)$ $f(a,v)$ si se conocen los valores de $f(s,t)$$f(u,v)$.
(2) creo que significa que no existe un vector $a$ tal que $s=c_1a, u=c_2a$ $w=c_3a$ para escalares $c_1,c_2$$c_3$, y del mismo modo no existe un vector $b$ tal que $t=d_1b,v=d_2b$ $x=d_3b$ para escalares $d_1,d_2$$d_3$.
Los siguientes ejercicios son relevantes (dos ya se ha dicho antes, pero lo diré de nuevo (en el más general de la situación) para la conveniencia de la ubicación):
Ejercicio 1: Vamos a $(v_1,\dots,v_n)$ ser linealmente dependiente de la tupla de vectores en un espacio vectorial $V$ para algún entero positivo $n$. Si $v_1\neq 0$, probar que para algunos $1\leq i\leq n$, podemos escribir $v_i$ como una combinación lineal de la tupla $(v_1,\dots,v_{i-1})$.
Ejercicio 2: Deje $f:V\times V\to W$ ser un bilineal mapa donde $V$ $W$ son espacios vectoriales. Probar lo siguiente:
(a) $f(v_1,0)=0=f(0,v_2)$ para todos los vectores $v_1,v_2\in V$.
(b) Deje $c\neq 0$. Si conocemos el valor de $f(cv_1,v_2)$ para los vectores $v_1,v_2\in V$ y algunos escalares $c$, entonces sabemos que el valor de $f(v_1,v_2)$.
Ejercicio 3: Deje $f:V\times V\to W$ ser un bilineal mapa donde $V$ $W$ son espacios vectoriales y deje $(v_1,\dots,v_n)$ ser una base de $V$. Demostrar que si conocemos los valores de $f(v_i,v_j)$ todos los $1\leq i,j\leq n$, entonces sabemos que el valor de $f(a,b)$ para cualquier par de vectores $a,b\in V$.
Ejercicio 4: Vamos a mantener la notación del Ejercicio 3 y deje $A$ $n\times n$ matriz con $f(v_i,v_j)$ su $(i,j)$th entrada. Si $a,b\in V$, demuestran que, a $f(a,b)=a^{T}Ab$ donde $a^{T}$ es la transpuesta del vector de columna $a$ $b$ es visto como un vector columna.
Ejercicio 5: Deje $V$ ser un espacio vectorial de dimensión $n$ y deje $a_1,\dots,a_n,a_{n+1},b_1,\dots,b_n,b_{n+1}$ ser vectores en $V$. Si todos los $a_i$'s son múltiplos de un vector fijo, muestran que al menos uno de los valores de $f(a_i,b_i)$ $1\leq i\leq n+1$ es redundante, es decir, se puede deducir con un conocimiento de la otra $n$ valores (además de, posiblemente, una comprensión de las propiedades básicas de las formas bilineales, tales como (a) del Ejercicio 2).
Reto: Formular condiciones bajo las cuales se puede deducir el valor de una bilineal mapa en un par ordenado de vectores si conocemos los valores de la bilineal mapa en un determinado conjunto de pares ordenados. (En otras palabras, generalizar el Ejercicio 5 y pensar más en el Ejercicio 3 y Ejercicio 4.)
Espero que esto ayude!
