¿Origen del producto de punto y cruz?

Question

La mayoría de las preguntas normalmente sólo se refieren a para qué se pueden usar, eso es bastante obvio para mí ya que he estado programando juegos/simulaciones 3D durante un tiempo, pero nunca he entendido realmente el funcionamiento interno de ellos... Podría obtener la ecuación de producto cruzado como determinante de una matriz cuidadosamente construida,

pero lo que quiero preguntar es... ¿Cómo llegó a existir el producto de punto y cruz? ¿Cuándo fueron "inventados"? ¿Algunas pruebas detalladas? ¿Alguien dijo: "Oye, ¿no sería bueno si pudiéramos construir una forma de calcular un vector perpendicular a dos operandos dados?"

Básicamente, ¿cómo/por qué funcionan?

Apreciaría explicaciones, enlaces a otras explicaciones, otros recursos de la web... Últimamente he buscado explicaciones en Internet, pero la mayoría de ellas son sobre cómo usarlo y nada que realmente le dé sustancia.

Answer 1

Un poco más del "cómo y por qué": el producto punto surge como respuesta natural a la pregunta: "¿qué funciones tenemos que toman dos vectores y producen un número?". Recuerda que tenemos una función aditiva natural (suma vectorial o por componentes) que toma dos vectores y produce otro vector, y otra función multiplicativa natural (multiplicación escalar) que toma un vector y un número y produce un vector. (También podríamos querer otra función que tomara dos vectores y produjera otro vector, algo más multiplicativo que aditivo - ¡pero mantén esa idea!) Por ahora llamaremos a esta función $D$ y específicamente utilizar la notación $D({\bf v},{\bf w})$ en función de los dos vectores ${\bf v}$ y ${\bf w}$ .

Entonces, ¿qué tipo de propiedades queremos que tenga esta hipotética función? Bueno, parece natural empezar por no distinguir las dos cosas sobre las que opera; hagamos $D$ simétrico, con $D({\bf v},{\bf w})=D({\bf w},{\bf v})$ . Ya que tenemos funciones de adición y multiplicación convenientes, sería bueno que "jugara bien" con ellas. En concreto, nos gustaría que respetara nuestra suma para cada variable, de modo que $D({\bf v}_1+{\bf v}_2,{\bf w}) = D({\bf v}_1,{\bf w})+D({\bf v}_2,{\bf w})$ y $D({\bf v},{\bf w}_1+{\bf w}_2) = D({\bf v},{\bf w}_1)+D({\bf v},{\bf w}_2)$ y nos gustaría que conmutara con la multiplicación escalar de forma similar, de manera que $D(a{\bf v}, {\bf w}) = aD({\bf v}, {\bf w})$ y $D({\bf v}, a{\bf w}) = aD({\bf v}, {\bf w})$ - estas dos condiciones juntas se denominan linealidad (más exactamente, "bilinealidad": es lineal en cada uno de sus argumentos). Es más, podemos tener alguna base "natural" para nuestros vectores (por ejemplo, "Norte/Este/Arriba", al menos localmente), pero preferiríamos que no estuviera ligada a ninguna base concreta; $D({\bf v},{\bf w})$ no debería depender de qué base ${\bf v}$ y ${\bf w}$ se expresan en (debería ser invariante por rotación ). Además, como cualquier múltiplo de nuestra función $D$ satisfará las mismas ecuaciones que $D$ mismo, también podemos elegir una normalización de $D$ . Desde $D(a{\bf v},a{\bf v}) = aD({\bf v},a{\bf v}) = a^2D({\bf v},{\bf v})$ parece que $D$ debe tener unas dimensiones de (longitud $^2$ ), así que sigamos adelante y establezcamos $D({\bf v},{\bf v})$ igual a la longitud al cuadrado de ${\bf v}$ , $|{\bf v}|^2$ (o, de forma equivalente, establecer $D({\bf v},{\bf v})$ a $1$ para cualquier vector unitario ${\bf v}$ ; ya que elegimos $D$ para ser invariante de base, cualquier vector unitario es tan bueno como cualquier otro).

Pero estas propiedades son suficientes para definir el producto punto. Dado que $$\begin{align} |{\bf v}+{\bf w}|^2 &= D({\bf v}+{\bf w},{\bf v}+{\bf w}) \\ &= D({\bf v}+{\bf w},{\bf v})+D({\bf v}+{\bf w},{\bf w}) \\ &= D({\bf v},{\bf v})+D({\bf w},{\bf v})+D({\bf v},{\bf w})+D({\bf w},{\bf w})\\ &= D({\bf v},{\bf v})+2D({\bf v},{\bf w})+D({\bf w},{\bf w}) \\ &= |{\bf v}|^2+|{\bf w}|^2+2D({\bf v},{\bf w}) \end{align}$$ entonces podemos simplemente establecer $D({\bf v},{\bf w}) = {1\over2} \bigl(|{\bf v}+{\bf w}|^2-|{\bf v}|^2-|{\bf w}|^2\bigr)$ . Un poco de aritmética debería convencerte de que esto da la fórmula habitual para el producto punto.

Aunque las propiedades específicas del producto cruzado no son exactamente las mismas, el concepto central sí lo es: es la única función que satisface un conjunto de condiciones bastante natural. Pero el producto cruzado tiene un gran inconveniente, dos en realidad, aunque están relacionados. Uno es que el hecho de que el producto cruzado tome dos vectores y produzca un tercero es un artefacto de $3$ -espacio dimensional; en general la operación que representa el producto cruzado (ortogonalidad) se puede formalizar en $n$ dimensiones ya sea como una función de $(n-1)$ vectores a un solo resultado o como una función de $2$ vectores que produce un 2 formas , esencialmente un $n(n-1)/2$ -objeto de dimensión; casualmente cuando $n=3$ esto significa que el producto cruzado tiene el "vector $\times$ vector $\rightarrow$ naturaleza "vectorial" que buscábamos. (Obsérvese que en $2$ dimensiones la operación natural de "ortogonalidad" es esencialmente una función de un vector a otro vector - toma el vector $(x,y)$ al vector $(y,-x)$ !) La otra trampa se encuentra en la descripción del producto cruzado como una 2 forma; resulta que no es bastante ¡lo mismo que un vector! En cambio, es esencialmente un covector - es decir, una función lineal de vectores a números (nótese que si se "cura" la función de producto punto $D$ anterior y considerar la función $D_{\bf w}$ tal que $D_{\bf w}({\bf v}) = D({\bf v},{\bf w})$ , entonces el objeto resultante $D_{\bf w}$ es un covector). Para la mayoría de los propósitos podemos tratar los covectores como simples vectores, pero no de manera uniforme; la consecuencia más importante de esto es una que los desarrolladores de gráficos por ordenador conocen desde hace tiempo: ¡las normales no se transforman de la misma manera que los vectores! En otras palabras, si tenemos ${\bf u} = {\bf v}\times{\bf w}$ , entonces para una transformación $Q$ no es (necesariamente) el caso que el producto cruzado de vectores transformados $(Q{\bf v})\times(Q{\bf w})$ es el resultado transformado $Q{\bf u}$ en su lugar es el resultado ${\bf u}$ transformado por el llamado adjunto de $Q$ (aproximadamente, la inversa de $Q$ con algunas advertencias). Para más información sobre los detalles de esto, yo sugeriría buscar en el álgebra exterior, el álgebra geométrica, y en general la teoría de las formas lineales.

AÑADIDO: Después de pensar un poco más en esto durante el almuerzo, creo que el enfoque más natural para entender de dónde "viene" el producto cruzado es a través del llamado forma de volumen una función $V({\bf u}, {\bf v}, {\bf w})$ de tres vectores a un número que devuelve el volumen (con signo) del romboide abarcado por ${\bf u}$ , ${\bf v}$ y ${\bf w}$ . (También es el determinante de la matriz con ${\bf u}$ , ${\bf v}$ y ${\bf w}$ como sus columnas, pero eso es otra historia...) En concreto, hay dos hechos clave:

1. Dada una base y dada alguna función lineal $f({\bf v})$ de vectores a números (recuerde que lineal significa que $f({\bf v}+{\bf w}) = f({\bf v})+f({\bf w})$ y $f(a{\bf v}) = af({\bf v})$ podemos escribir un vector ${\bf u}$ tal que $f()$ es el mismo que el covector $D_{\bf u}$ (es decir, tenemos $f({\bf v}) = D({\bf u}, {\bf v})$ para todos ${\bf v}$ ). Para ver esto, dejemos que la base sea $(\vec{e}_{\bf x}, \vec{e}_{\bf y}, \vec{e}_{\bf z})$ Ahora dejemos que $u_{\bf x} = f(\vec{e}_{\bf x})$ y de forma similar para $u_{\bf y}$ y $u_{\bf z}$ y definir ${\bf u} = (u_{\bf x},u_{\bf y},u_{\bf z})$ (en la base que se nos proporcionó). Evidentemente, $f()$ y $D_{\bf u}$ coinciden en los tres vectores base, por lo que por linealidad (recordemos que dijimos explícitamente que $f$ era lineal, y $D_{\bf u}$ es lineal porque el producto punto lo es) coinciden en todas partes.
2. La forma del volumen $V({\bf u}, {\bf v}, {\bf w})$ es lineal en todos sus argumentos, es decir, $V({\bf s}+{\bf t}, {\bf v}, {\bf w}) = V({\bf s}, {\bf v}, {\bf w})+V({\bf t}, {\bf v}, {\bf w})$ . Es obvio que la forma es "invariante de base" - existe independientemente de la base particular que se utilice para escribir sus argumentos vectoriales - y bastante obvio que satisface la propiedad de multiplicación escalar que $V(a{\bf u}, {\bf v}, {\bf w}) = aV({\bf u}, {\bf v}, {\bf w})$ (nótese que por eso tuvimos que definirlo como un volumen firmado - $a$ podría ser negativo). La linealidad bajo la adición es un poco más difícil de ver; probablemente es más fácil pensar en la forma análoga de área $A({\bf v}, {\bf w})$ en dos dimensiones: imagine que apila los paralelogramos abarcados por $({\bf u}, {\bf w})$ y $({\bf v}, {\bf w})$ uno encima del otro para formar una especie de chevron, y luego moviendo el triángulo formado por ${\bf u}$ , ${\bf v}$ y ${\bf u}+{\bf v}$ de un lado del chevron al otro para obtener el paralelogramo $({\bf u}+{\bf v}, {\bf w})$ con la misma área. El mismo concepto funciona en tres dimensiones apilando romboides, pero el hecho de que los dos "trozos" tengan la misma forma es más difícil de ver. Esta linealidad, por cierto, explica por qué la forma cambia de signo cuando se intercambian los argumentos (es decir, por qué $V({\bf u}, {\bf v}, {\bf w}) = -V({\bf v}, {\bf u}, {\bf w})$ ) : de la definición $V({\bf u}, {\bf u}, {\bf w}) = 0$ para cualquier ${\bf u}$ (representa el volumen de un romboide bidimensional degenerado atravesado por ${\bf u}$ y ${\bf w}$ ), y utilizando la linealidad para desglosar $0 = V({\bf u}+{\bf v}, {\bf u}+{\bf v}, {\bf w})$ muestra que $V({\bf u}, {\bf v}, {\bf w}) + V({\bf v}, {\bf u}, {\bf w}) = 0$ .

Ahora, el hecho de que la forma de volumen $V({\bf u}, {\bf v}, {\bf w})$ es lineal significa que podemos hacer el mismo tipo de "currying" del que hablamos anteriormente y, para dos vectores cualesquiera ${\bf v}$ y ${\bf w}$ Consideremos la función $C_{\bf vw}$ de los vectores ${\bf u}$ a los números definidos por $C_{\bf vw}({\bf u}) = V({\bf u}, {\bf v}, {\bf w})$ . Como se trata de una función lineal (porque $V$ es lineal, por el punto 2), sabemos que tenemos algún vector ${\bf c}$ tal que $C_{\bf vw} = D_{\bf c}$ (por el punto 1). Y por último definir el producto cruzado de los dos vectores ${\bf v}$ y ${\bf w}$ como este "vector ${\bf c}$ . Esto explica por qué el producto cruzado es lineal en sus dos argumentos (porque la forma de volumen $V$ era lineal en sus tres argumentos) y explica por qué ${\bf u}\times{\bf v} = -{\bf v}\times{\bf u}$ (porque $V$ cambia de signo al intercambiar dos parámetros). También explica por qué el producto cruzado no es exactamente un vector: en su lugar es realmente la función lineal $C_{\bf vw}$ disfrazándose de vector (por la correspondencia uno a uno a través de $D_{\bf c}$ ). Espero que esto ayude a explicar mejor las cosas.

Answer 2

Parece notable que nadie parece recordar el verdadero origen del vector y de los productos puntuales. En realidad, la respuesta está escondida en i , j , k notaciones para el vector. Se trata de la misma notación utilizada para los cuaterniones. Sucede que a Josiah Willard Gibbs no le gustaba el formalismo de los cuaterniones, que era el más utilizado en la física de su época, y por ello ideó análisis vectorial . Recordemos que los cuaterniones tienen estas propiedades: $\mathbf i^2=\mathbf j^2=\mathbf k^2=\mathbf i \mathbf j \mathbf k=-1$ y lo que se deduce de estas identidades $\mathbf i \mathbf j =\mathbf k$ , $\mathbf j \mathbf k = \mathbf j$ , $\mathbf k \mathbf i = \mathbf j$ (por ejemplo, para obtener $\mathbf i \mathbf j =\mathbf k$ utilice $\mathbf i \mathbf j \mathbf k=-1$ y multiplicar por $\mathbf k$ de la a la derecha . Es importante tener en cuenta de qué lado se multiplica, porque la multiplicación de cuaterniones no es conmutativo (por ejemplo, si se toma $\mathbf i \mathbf j =\mathbf k$ y multiplicar ambos lados por $\mathbf j$ de la a la derecha obtendrá $\mathbf i \mathbf j^2 =- \mathbf i = \mathbf k \mathbf j= - \mathbf j \mathbf k$ ).

Ahora toma dos "vectores" $\mathbf u=u_1 \mathbf i + u_2 \mathbf j + u_3 \mathbf k$ y $\mathbf v=v_1 \mathbf i + v_2 \mathbf j + v_3 \mathbf k$ y multiplicarlos como cuaterniones. Lo que descubrirás es que la respuesta se romperá en la parte real (escalar) y la parte imaginaria (vectorial). La parte real (con el signo menos) será el producto escalar (punto) y la parte imaginaria será el producto vectorial (cruz).

Answer 3

Lo más probable es que hayas superado la corriente máxima absoluta de 100mA del transistor BC546; o bien su disipación de potencia de 0,5W. De cualquier manera, el transistor se calentó y murió.

Irónicamente, el LM386 haría un trabajo razonable (pero no excelente - está diseñado para cargas de 8 ohmios y superiores) de conducir el altavoz sin los transistores. Conecta su salida (pin 5) al altavoz a través de un condensador de 470uf, y omite los transistores por completo

Answer 4

No conozco los detalles históricos más allá de que debió ser en el siglo XIX, pero conozco algunas formas en las que el producto punto está motivado por la física. La gravedad actúa en dirección descendente, y un objeto rueda por una pendiente que no es vertical. ¿Cuánto trabajo se realiza? El trabajo es igual a la fuerza por la distancia, pero en este caso la fuerza está en una dirección determinada y el desplazamiento está en una dirección determinada. El trabajo es el producto puntual de la fuerza y el desplazamiento.

Una cosa (ciertamente no es la única) que puede motivar de forma similar los productos cruzados proviene de la geometría: el área de un terreno es su longitud por su anchura, si es un rectángulo. Pero si dos lados rectos se encuentran en un ángulo distinto de $90^\circ$ y los dos lados opuestos son paralelos a éstos, entonces es una longitud por la otra por el seno del ángulo entre ellas, es decir, la magnitud del producto cruzado. La dirección del producto cruzado indica la orientación del plano en el que se encuentra la superficie cuya área se mide: es un plano perpendicular al producto cruzado.

Answer 5

Aquí es un debate sobre el mismo tema, en el que un colaborador sugiere que el producto cruzado se atribuye a Josiah Gibbs y Oliver Heaviside.