La definición de un "aditivo" estructura de grupo en la $[0,1]$

Question

Además modulo $1$ define una estructura de grupo en el halfopen unidad de intervalo de $[0,1)$. Obviamente, esta construcción no funciona si uno empieza con $[0,1]$ en lugar de $[0,1)$.

Es posible extender, además de en $[0,1]$ a un grupo de la operación? Más precisamente:

¿Existe una operación binaria $\ast: [0,1]^2 \to [0,1]$ tal que $a \ast b = a+b$ siempre $a+b \leq 1$ y tales que $([0,1],\ast)$ es un grupo?

Claramente, si este es el caso, a continuación, $0$ debe ser el elemento neutro. Sin embargo, nosotros no nos hemos hecho mucho progreso más allá de este. Esta pregunta surgió cuando tratando de inventar ejercicios para una teoría del grupo curso. No sé cuál es la respuesta.

Answer 1

No hay tal operación, continua o no. Observar que si $a,b\in [0,1]$ son tales que $a+b>1$, luego $$ a*b = 1*(a+b-1) .\quad\quad\quad\quad (1) $$

Para ver esto, basta con escribir $$ b=(1-a)+(a+b-1)=(1-a)*(a+b-1) ; $$ esto le da (1) después de la multiplicación por $a$.

Ahora fix $a$ y considerar $a*x$, $0\le x\le 1$. Esto define un bijection en $[0,1]$, y desde $0\le x\le 1-a$ obtiene asignada bijectively en $[a,1]$, se deduce que el $x\mapsto 1*(a+x-1)$ mapa de $(1-a,1]$ bijectively en $[0,a)$.

Equivalentemente, $y\mapsto 1*y$ mapa de $(0,a]$ bijectively en $[0,a)$, pero esto no funciona porque ahora el $y$ $1*y=0$ en $(0,a]$ todos los $a>0$.