Dos ejemplos de módulos: quotienting y suma directa, necesita algunas aclaraciones.

Question

1. Cualquier anillo de $A$ tiene la estructura natural de la izquierda, resp. a la derecha, en el módulo en sí. Un submódulo $J \subset A$ es la misma cosa como a la izquierda, resp. a la derecha, el ideal de la $A$. Por lo tanto, el conjunto de $A/J$ también tiene la estructura natural de la izquierda, resp. a la derecha, $A$-módulo.

2. Para cualquier anillo de $A$ y un entero $n > 0$, el grupo abelian $A^n = A \oplus \ldots \oplus A$ de la columna, resp. fila, vectores tiene la estructura de una izquierda, resp. a la derecha, $\text{M}_n(A)$-módulo.

Yo no lo esta, ya que es bastante escueto. ¿Alguien puede ayudar a aclarar lo que se dice aquí? Específicamente:

1. ¿Alguien puede explicarme lo de la multiplicación $R×M \to M$ es aquí, en estos dos casos?
2. ¿Cómo podemos comprobar que el módulo de axiomas aquí, en ambos casos?
3. ¿Qué es la intuición detrás de trabajar con el $A$-módulo de $A/J$, y lo que es la intuición detrás de trabajar con el $\text{M}_n(A)$-módulo de $A^n$?

Answer 1

1. En $A/J$ los elementos de la de $a+J$ algunos $a\in A$. Ahora, ¿cuál es la elección natural para multiplicar este por $a'\in A$? Bueno la cosa más fácil de hacer es tomar el $a'a+J$ que hace todo el trabajo. Para la suma directa de recordar que se puede definir como funciones de$\{1, \dots , n\}$$A$, aquí la elección natural para una acción de $A$ en función de $f$ está dado por $(a.f)(n)=a(f(n))$.

2. Supongo que usted sabe que ambas construcciones en 1. tiene una estructura de grupo. A continuación, sólo tiene que comprobar que esta multiplicación escalar está bien definido y que los axiomas de la multiplicación escalar están satisfechos.

3. Considerando $A^n$ $\text{M}_n(A)$- módulo es igual que en álgebra lineal que un $n\times n$ matriz con valores en $A$ le da un lineal mapa en $A^n$$A^n$. Para los otros es posible que desee algún interpretación geométrica como tomar el ideal (continuo, liso o algo que usted desea)las funciones que se desvanecen en un punto de $x$, cuando se toma el cociente de obtener funciones que están de acuerdo en un barrio de $x$. Entonces este le dice que puede multiplicar los locales de las funciones de funciones globales. Otra cosa agradable es al $A$ es un PID, a continuación, cualquier finamente módulo generado $M$ es de la forma $A^n \oplus A/J_1 \oplus \dots \oplus A/J_m$. Esta es la primaria divisor teorema.