Cómo muchas de las 4 de la carta de las palabras podemos hacer que los PLÁTANOS

Question

Como sugiere el título, quiero saber el valor de las posibles permutaciones sin repetición de la palabra PLÁTANOS

BA₁N₁UN₂N₂UN₃S

así, por ejemplo, para la palabra a₁N₁Un₂S es Un₃N₁Un₂S y queremos excluir de nuestro valor total.

¿Cómo puedo calcular esto, he tratado de 7*6*5*4 /(3!)(2!) pero creo que este valor es demasiado pequeño.

Answer 1

El uso de exponenciales funciones de generación, ya que hay 3, 2 N, 1 B y 1 S, obtenemos

$g_e(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\right)\left(1+x+\frac{x^2}{2!}\right)(1+x)^2=1+4x+7x^2+\frac{43}{6}x^3+\frac{19}{4}x^4+\cdots$,

así que hay $(4!)(\frac{19}{4})=\color{red}{114}$ palabras de longitud 4.

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Alternativamente, se puede considerar el número de Una a usar:

1) 3: Hay 3 opciones para el resto de la carta, dando a $4\cdot3=12$ de los casos

2) 2: Con 2 N, hay 6 casos, y con BN, SN, SB llegamos $3\cdot12=36$ adicional de casos

3) 1: con 2 N, obtenemos $2\cdot12=24$ de los casos, y con NBS llegamos $4!=24$ adicional de casos

4) 0: esto le da a $4\cdot3=12$ de los casos

Por lo tanto, el total está dado por $12+42+48+12=\color{red}{114}$ de los casos.

Answer 2

Usted puede hacer una distinta de cuatro letras de la cadena de $\sf AAABNNS$ seleccionando, a continuación, la organización de: $$\sf (AAA[B|S|N]) \mid (AANN) \mid ([AA|NN]BS) \mid ([AAN|NNA][B|S]) \mid (ANBS)$$

Contar las maneras para cada caso, a continuación, en agregar.

• Triple y singleton (3 elección de singletons)
  • $\binom 11\binom 3 1\frac{4!}{3!~1!}$
• Dos pares
• Par y dos embarazos únicos
• Cuatro únicos

Answer 3

Bien, llevar a cabo la grande y aburrido armas de fuego.

Podemos tener:

Hay varias cartas. Por lo tanto palabras con B,a,N,S. Hay $4!$ tales palabras.

Un par de letras dobles. Que la carta puede ser Un o N, y para los restantes dos cartas podemos omitir (o N), B o A. por Lo que hay $2*3$ opciones de letras y para cada una de las opciones de la carta hay $4*3$ maneras de colocar los dos no repetición de letras. Por lo $6*4*3$ tales palabras.

Dos pares de a y N. Hay ${4 \choose 2}$ opciones para organizar AANN.

Tres cartas. A y, a continuación, N,B,S para el resto de la carta. Que es $3$ elige de letras y $4$ opciones de dónde poner la no repetición de la letra. $3*4$ total.

Así que hay $4! + 6*4*3 + {4\choose2} + 3*4 = 24 + 72 + 6 + 12 = 114$ total.