$M_1 \oplus R \simeq M_2 \oplus R$ $M_1 \not\simeq M_2$

Question

Tengo el siguiente problema:

Teníamos que demostrar que si $R$ es un director ideal de dominio podemos "restar" $R$ en directo sumas de $R$-módulos, es decir, $M_1 \oplus R \simeq M_2 \oplus R$ implica $M_1 \simeq M_2$.

Además tuvimos el teorema de que si $R$ es conmutativa (y no necesariamente un PID) el rango de libre R-módulos está bien definido y tenía un ejemplo de que esto no es cierto para los no-conmutativa anillos. En particular, se obtiene un contador de ejemplo de arriba, si $R$ no es conmutativa.

Ahora me pregunto si hay un ejemplo de un anillo conmutativo $R$ $R$- módulos de $M_1, M_2$ tal que $M_1 \oplus R \simeq M_2 \oplus R$ pero $M_1 \not\simeq M_2$. En particular, me pregunto si no son parte integral de los dominios del director y de los ideales de anillos que no cumplen esta propiedad.

Answer 1

Dos $R$-módulos de $M,N$ se dice ser estable isomorfo, si hay algo de $k \geq 0$ tal que $M \oplus R^k \cong N \oplus R^k$. $M$ es estable libre, si $M \oplus R^k$ es gratuito para algunos $k$. Así que usted está buscando para los módulos que se estable isomorfo sin ser isomorfos. En particular, cualquier forma estable un módulo que no es libre sería suficiente.

En este papel, Keith Conrad da un ejemplo de una forma estable módulo $M$ que no está libre de: Deje $R$ ser la integral de dominio $\mathbb{R}[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2-1)$, e $M = \{(a,b,c) \in R^3 : xa + yb + zc = 0\}$. A continuación, $M \oplus R \cong R^3$ pero $M \not \cong R^2$.