El familiar número de conjuntos de $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ que todos tenemos "naturales construcciones", que indican, por qué son matemáticamente interesante.
Por ejemplo, el equipamiento de $\mathbb{N}$ con la habitual sucessor de la función y la constante $0$, que puede ser descrito como la inicial de $(0,1)$-Álgebra. O, si queremos que sea un aditivo monoid, es la libre monoid en algún punto de set. Desde monoids son algo muy elemental y puede ser descrito puramente categóricamente en muchas formas equivalentes, esto da una idea, ¿por qué teniendo en cuenta los números naturales puede ser interesante.
Ahora el olvidadizo functor $\mathbf{Grupos de}\longrightarrow\mathbf{Monoids}$ ha dejado adjunto envío de $\mathbb{N}$ en el grupo aditivo de los enteros de $\mathbb{Z}$. Por otra parte, $\mathbb{Z}$ es la inicial de anillo. Si una de las preguntas que teniendo en cuenta que los anillos es muy interesante, se podría responder que no son más que monoids en la "natural" de la categoría de abelian grupos con el "natural" producto tensor lo que es una categoría monoidal.
De $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$ no es mucho, ya que los racionales son la imagen de $\mathbb{Z}$ en virtud de la izquierda adjunto de la incrustación de $\mathbf{Campos}\longrightarrow\mathbf{Dominios}$.
(Uno podría ir un paso más allá y pasar a los números algebraicos como el campo de la teoría de la finalización de los racionales.)
Mi pregunta ahora es: ¿por Qué consideramos que los reales de $\mathbb{R}$, desde un punto de vista estructural? Es claro para mí (o al menos yo no siento que tengo el derecho de preguntar) que teniendo en cuenta que los números reales en la física, finanzas, etc. es necesario, debido a que proporciona un buen modelo para nuestra realidad.
A mí más bien me pregunto, si hay matemáticos razones por lo que los reales interesante. La única descripción de los números reales por algunos universal de la propiedad de la que soy consciente es que son la de Cauchy-Finalización de los racionales como un espacio métrico -, pero desde la definición de un espacio métrico ya depende de alguna noción de los reales, esto es sólo un truco barato. (Uno podría, por supuesto, definir un espacio métrico como un conjunto $X$, con una función en alguna de archimedian ordenó campo, la satisfacción de los habituales de los axiomas, pero esto es un poco artificial, creo.) También tenga en cuenta que es casi imposible hacer el Álgebra, la Teoría de conjuntos o la Teoría de grafos sin saber lo que los números naturales son, mientras que uno puede demostrar que muchos de los resultados de Álgebra y Topología sin venir a través de los reales.
Espero que usted puede proporcionar algunas ideas, que muestra por qué los números reales considerado como un espacio topológico/campo/grupo/de un conjunto ordenado son interesantes en lo conceptual (es decir, la base de la categoría -) de matemática. Por supuesto, si una de las preguntas que los números reales son interesantes, también se tiene a la pregunta de los números complejos de $\mathbb{C}$ y otros conceptos a partir de estas nociones (como casi todos los de Análisis, topología Diferencial, etc.), así que estoy muy consciente del hecho de que yo no rechazar los números reales como anticuado, incluso en el caso de que no recibo muchas respuestas.
Edit: por supuesto, mi pregunta se basa implícitamente en mi firme creencia de que la matemática interestingness y categórica de interés son equivalentes los conceptos. Según lo sugerido por algunos de los comentarios, me gustaría parafrasear a mi pregunta: ¿Cómo puedo deducir de las propiedades matemáticas de los números reales que son matemáticamente interesante, y por lo tanto que ellos son los óptimos formalización de nuestras nociones de geometría y infenitesimal operaciones?
