Este problema tiene una cierta imperfección en él. Supongamos que la definición de límite es la siguiente:
Deje $f$ ser definida en un determinado barrio de $a$, excepto posiblemente en a $a$. Un número $L$ se dice que el límite de $f$ $a$ (escrito $\lim_{x \to a}f(x) = L$) si por cualquier $\epsilon > 0$ no es un porcentaje ($\delta > 0$tal que $|f(x) - L| < \epsilon$ siempre $0 < |x - a| < \delta$.
A continuación, la función de $f$ en cuestión no posee un límite en el $x = 0$ debido a que la función no está definida en cualquier barrio de $0$ (pensar en puntos de $x = 1/n\pi$ donde $n$ es entero distinto de cero).
Supongamos que la definición de límite es la siguiente:
Deje $A$ ser un no-vacío es subconjunto de a $\mathbb{R}$ y deje $f:A \to \mathbb{R}$ ser una función y además vamos a $a$ ser un punto límite de $A$. Un número $L$ se dice que el límite de $f$ $a$ (escrito $\lim_{x \to a}f(x) = L$) si por cualquier $\epsilon > 0$ no es un porcentaje ($\delta > 0$tal que $|f(x) - L| < \epsilon$ siempre $x \neq a, x \in A, |x - a| < \delta$.
A continuación, la función de $f$ en cuestión tiene un límite en $x = 0$ y el límite es claramente igual a $2$ como se explicó en la muy bonita respuesta de usuario @marty cohen.
Actualización: Gracias al usuario @zhw , quien señaló que el fallo en la respuesta dada por marty cohen (que yo era incapaz de detectar desde una mirada superficial, de su respuesta). Este incidente va a mostrar el tipo de sutiles errores que se pueden hacer si no estamos atentos suficiente. La función dada no tienden a un límite, incluso si tomamos en cuenta la segunda definición de límite.
El hecho de que $e^{-1/x^{2}} \to 0$ $x \to 0$ mucho más rápido que cualquier potencia de $x$ no implica que la misma tiende a $0$ mucho más rápido que cualquier función de $x$. Podemos ver que la función dada se puede escribir como $$f(x) = 2\cdot\frac{\sin^{2}(1/(x + e^{-1/x^{2}}))}{\sin^{2}(1/x)}$$ and let's put $z = e^{-1/x^{2}}$ so that $$f(x) = 2\frac{\sin^{2}(1/(x + z))}{\sin^{2}(1/x)}$$ Then $$f(x) - 2 = 2\cdot\frac{\sin^{2}(1/(x + z)) - \sin^{2}(1/x)}{\sin^{2}(1/x)} = -2\frac{z}{x(x + z)}\cdot\frac{\sin 2c}{\sin^{2}(1/x)}$$ (via MVT) where $c$ lies between $1/x$ and $1/(x + z)$. Now note that the factor $\pecado 2c$ oscillates between $-1$ and $1$.
El factor de $$g(x) = \frac{z}{x(x + z)}\cdot\operatorname{cosec}^{2}(1/x)$$ does not tend to $0$ as it might appear from the presence of $z = e^{-1/x^{2}}$. The reason is that function $h(x)$ which is reciprocal of $g(x)$ is continuous everywhere except $x = 0$. And we can see that $$h(x) = \frac{1}{g(x)} = x(x + z)e^{1/x^{2}}\sin^{2}(1/x)$$ and $h(x)$ vanishes at points $x = 1/n\pi$ and by continuity takes arbitrary small values as $x \to 0$. Hence the function $g(x)$ is unbounded as $x \to 0$ and because of the term $\sin^{2}(1/x)$ it oscillates infinitely. It follows that the overall expression $f(x) - 2$ oscillates infinitely as $x \to 0$.
¿Qué podemos aprender a partir de lo anterior, es que a pesar de $e^{1/x^{2}} \to \infty$ mucho más rápido que cualquier potencia de $1/x$$x \to 0$, su crecimiento puede reducirse significativamente mediante la adición de un factor de $\sin^{2}(1/x)$ debido a que este factor se desvanece tantas veces como $x \to 0$ es continua. Y por lo tanto la expresión $e^{-1/x^{2}}\operatorname{cosec}^{2}(1/x)$ (lo cual es crucial para esta pregunta) es ilimitado como $x \to 0$ y oscila infinitamente.
Por CIERTO, no es necesario construir complicado ejemplos para llegar a una función en serie de Taylor y de L'Hospital de la norma no son aplicables. Un simple límite de $\lim_{x \to 0}x\sin(1/x)$ también derrotas estas técnicas y se maneja de forma muy sencilla a través de el teorema del sándwich.
