¿Qué es un buen límite superior $n^n(n-1)^{n-1}\ldots2^21^1$?

Question

Dado un entero $n \ge 1$, me gustaría tener una no-muy-suelta límite superior para el número entero $$u(n) := \Pi_{k=1}^n k^k = n^n(n-1)^{(n-1)}\ldots2^21^1.$$

Es fácil ver que, $u(n) \le n^{n(n+1)/2}$, pero esto no es muy interesante.

Actualización

Tenemos $u(n) \le e^{\left(\frac{1}{2}n(n+1)\log\left(\frac{2n + 1}{3}\right)\right)}$, y que realmente no podemos hacer mucho mejor!

De hecho, la utilización de Euler-Maclaurin, tenemos

$ \log(u(n)) = \int_2^nx\log x dx = \frac{1}{4}n^2(2\log(n) - 1) - 2\log(2) + \frac{1}{4} + \text{error terms}$, que es comparable a la de los dependientes de $\log(u(n)) \le \frac{1}{2}n(n+1)\log\left(\frac{2n + 1}{3}\right)$ en la aceptación de la respuesta (ver más abajo). En particular, podemos concluir que ha aceptado la respuesta seguramente es apretado!

Answer 1

Usando la desigualdad de Jensen:

Dejando $A= \sum_{k=1}^n k = \frac{n (n+1)}{2}$ $B= \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n (n+1)(2n+1)}{6}$

Tenemos

$$ \begin{align} \log(u(n)) &=\sum_{k=1}^n k \log(k) \\ &= A \sum_{k=1}^n \frac{k}{A} \log(k) \tag{1}\\ &\le A \log \left( \sum_{k=1}^n \frac{k}{A} k \right) = A \log \left( \frac{B}{A} \right) \tag{2} \end{align} $$

Por lo tanto

$$\log(u(n)) \le \frac{n(n+1)}{2} \log\left(\frac{2 n+1}{3}\right) \tag{3}$$

El límite parece ser muy apretado:

Actualización: como se nota por los comentarios y el OP, el bound $(3)$ está de acuerdo con el orden verdadero de crecimiento; esto se puede verificar mediante la aplicación de la regla trapezoidal para la integral:

$$ -\frac{1}{4}=\int_{0}^{1} x \log(x) dx \approx \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \log\left(\frac{k}{n}\right) $$ lo que da

$$ \log(u(n)) \approx\frac{ n(n+1)}{2}\left( \log n -\frac{1}{2} \right) \tag{4}$$

Si uno está interesado en una aproximación (en lugar de un límite), $(4)$ podría ser preferible.

Mejor asymptotics aquí (a partir de los comentarios).

Answer 2

No tienen la reputación, o de lo contrario esto sería un comentario. Como se mencionó en un enlace publicado por leonbloy, el hyperfactorial, que se muestra en la teoría de el Barne de la función G, es la relativa a la $\int_0^n \log\Gamma(x) dx.$ Buena límites en esto debe darle una mejor obligado que la que se encuentra por la desigualdad de Jensen. He encontrado la expresión

$$\log(u(n)) \le(n):=\dfrac{(n+1/2)^2}{2}(\log(n+1/2)-3/2)+\dfrac{n(n+1)}{2}+ \dfrac{9}{8}\log(2/3)+\dfrac{11}{16}.$$

Para una comparación, vamos a definir "Jensen' y 'a' relaciones de

$$R_J(n)=\dfrac{\log(u(n))}{n(n+1)/2\log((2n+1)/3))},\quad R_A(n)=\dfrac{\log(u(n))}{A(n)} .$$

Entonces (aproximadamente) $R_J(100)=0.892$ , $R_A(100)=0.999992;$ y $R_J(10^5)=0.9915$ , $R_A(10^5)=0.99999999915$ (nueve nueves).