Los puntos de la diferenciabilidad de $f(x) = \sum\limits_{n : q_n < x} c_n$

Question

Vamos, $\{q_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ser una enumeración de los números racionales. Considere la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $$\displaystyle f(x) = \sum\limits_{n : q_n < x} c_n$$

donde, $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n$ es absolutamente convergente positivo de la serie. La función es claramente monótona creciente, discontinua en racionales (con salto exactamente $c_n$$x = q_n$) y continua en irrationals.

$1.$ Quiero preguntar acerca de los puntos de la diferenciabilidad de $f$?

Desde $f$ es monotono debe ser diferenciable de una.e. pero, ¿cómo podemos identificar estos puntos de la diferenciabilidad? (como en una manera de representar este conjunto en una forma compacta)

Intuitivamente, parece que debe estar relacionado con el particular enumeración de los racionales $\{q_n\}$ a mano. Por ejemplo, si tenemos una enumeración que, por $\alpha \in \mathbb{R \setminus Q}$, $q_n \notin (\alpha - \delta_N , \alpha + \delta_N)$ $1 \le n \le N$ (es decir, decir $|q_n - \alpha| > \delta_n$ $n \in \mathbb{N}$ donde, $\delta_n \downarrow 0^{+}$$n \to \infty$) y ahora si se nos imponen más el 'bueno' de la propiedad:

$\displaystyle \frac{f(\alpha + \delta_N) - f(\alpha)}{\delta_N} = \frac{1}{\delta_N}\sum\limits_{n : q_n \in (\alpha, \alpha + \delta_N)} c_n \to \lambda$ , ( $N \to \infty$ ) y de manera similar, uno para la izquierda derivados, tenemos $f'(\alpha) = \lambda$.

Así que, intuitivamente puedo ver cómo elegir una enumeración que hace la derivada igual a $\lambda$ $x = \alpha$ (o golpes en $\alpha$, es decir, $\lambda = + \infty$).

Para aclarar lo que yo estoy pidiendo: Dada una enumeración de los racionales, ¿cómo hemos llegado con las correspondientes definiciones/conceptos relativos a esta enumeración, que nos ayuda a identificar qué $\alpha$'s esperamos que debería ser un punto de differentiablity.

$2.$ Es allí una manera de calcular la derivada en esos puntos?

Ha estas preguntas se ha abordado/respondidas en la literatura antes? Me encantaría que si podía conseguir alguna referencia en esta materia. Gracias! :-)

Answer 1

Tal vez mi respuesta no es realmente en la dirección que quería, pero aquí es de todos modos.

Su función es creciente por lo que se ha acotado la variación y por lo tanto es derivado (en el sentido distributivo) es una medida de radón. De hecho, desde su función es la derecha continua en todas partes es una función de distribución Acumulativa (después de una eventual renormalisation). Su derivado $\mu$ pueden ser clasificados en 3 partes : $$\mu=\mu_{ac}+\mu_{d}+\mu_{w}$$ donde el primer término es absolutamente continua con respecto a la medida de lebesgue) el segundo término es discreto y el último término es raro (pero más a menudo se llama "singular sin átomos" en la literatura). En su caso sólo tenemos $\mu=\mu_d=\sum c_n\delta_{q_n}$.

Vamos a volver a la costumbre de diferenciación : $\;\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{h}\mu(]x;x+h])=\frac{\mu(]x;x+h])}{\lambda(]x;x+h])}$.

Ahora podemos utilizar la teoría de la diferenciación de las medidas para lidiar con su pregunta. Utilizando el teorema 7.13 o 7.14 de la Real y complejo análisis por W. Rudin (3ª edición) vemos que la derivada de $f$ es igual a la derivada de la $\mu$ con respecto a la medida de Lebesgue y desde $\mu$ es discreto llegamos $f'=0$.e. (con respecto a la medida de Lebesgue).