Yo estaba rodando una corteza de pastel de esta noche. Me gustaría producir un círculo perfecto, sino que forma parte a través de la frontera de mi corteza era un lugar diferente curva cerrada. Soy consciente de que el mapeo de Riemann teorema que dice que puedo mapa de mi existentes en la corteza de un círculo con un ángulo de preservar el mapa, pero que se pueden estirar y encoger localmente, lo que hará que la corteza tiene un espesor desigual. No me importa acerca de la preservación de los ángulos. Si asumimos mi corteza es uniforme y de espesor ahora, quiero hacer un mapa de un área igual a la del disco de la preservación de las áreas locales de modo que el espesor se mantenga uniforme. Hay un teorema que dice que yo no puedo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Voy a asumir que su pizza ha liso límite.
Deje $(M_i, \omega_i)$ ser compacto orientado suave colectores, posiblemente con límite, equipadas con una forma de volumen. Supongamos $M_1$ está orientado diffeomorphic a $M_2$, y tienen el mismo volumen,$\int_{M_i} \omega_i.$, Entonces hay una diffeomorphism $f: M_1 \to M_2$$f^*\omega_2 = \omega_1$.
Podemos demostrarlo mediante un truco de Moser. En primer lugar, reducir, para el caso de que $M_1 = M_2$. Entonces queremos demostrar que hay un auto-diffeomorphism de $M$ tal que $f^* \omega_1 = \omega_0$. Debido a que el volumen de las formas de dar la misma orientación de $M$, son (sin problemas) homotópica como el volumen de las formas; de hecho, como el volumen de las formas en el mismo cohomology clase: no es un buen camino $\omega_t$ del volumen de las formas de conectarlos, con $[\omega_0] = [\omega_t]$. Lo que me gustaría es encontrar un flujo de $f_t$ de una variable en el tiempo el campo de vectores $X_t$ tal que $f_t^* \omega_t = \omega_0$; tomando derivados, si esto fuera cierto, $$0 = \frac{d}{dt} (f_t^*\omega_t) = f_t^* (\mathcal L_{X_t} \omega_t) + f_t^*\left(\frac{d}{dt}\omega_t\right) = f_t^* \left(d\iota_{X_t} \omega_t+ \frac{d}{dt} \omega_t\right).$$ (Note that for the flow to make sense on a manifold with boundary, $X_t$ should always be tangent to the boundary, on the boundary.) Going backwards, if we can find a vector field $X_t$ with $d\iota_{X_t} \omega_t = - \frac{d}{dt} \omega_t$, then $X_t$ generates the desired flow. Because $[\frac{d}{dt} \omega_t] = 0$, $\frac{d}{dt} \omega_t = d\alpha_t$, where we choose $\alpha_t$ to vary smoothly in $t$. The nondegeneracy of the volume form is precisely what allows me to solve $\iota_{X_t} \omega_t = -\alpha_t$ uniquely for all $t$.
Sólo hay un problema, en el caso de la frontera: obligar a $X_t$ a ser tangente a la frontera. Si se resuelve la ecuación anterior, esto es precisamente lo mismo que decir que $\alpha_t\big|_{\partial M} = 0$. Podemos optar $\alpha_t$ a satisfacer $d\alpha_t = \frac{d}{dt}\omega_t$ $\alpha_t\big|_{\partial M} = \eta_t$ para cualquier elección de $\eta_t$, en el límite con volumen cero (esto es, esencialmente, la declaración de que $\frac{d}{dt} \omega_t$ es de cero en la relación cohomology grupo $H^n(M,\partial M)$ - es cierto porque, precisamente, $\int \omega_t$ es constante), esta demostrando que podemos elegir un apropiado"$\alpha_t$, obteniendo así una adecuada $X_t$, lo que demuestra el teorema.
Esto en la mano, su deseada teorema se sigue de Schoenflies teorema de que la región cerrada limitada por cualquier liso círculo en el plano es diffeomorphic a un disco.
