Varios de los números reales con sólo $0$'s y $1$'s en la parte entera

Question

Me gustaría saber si la siguiente afirmación es verdadera:

Deje $x \in \Bbb R$ ser cualquier número real. Existe un entero $n ≥ 1$ tal que $\lfloor nx \rfloor$ sólo ha $0$'s y $1$'s como los dígitos en su expansión decimal?

Si $x$ es un número racional, entonces la afirmación es verdadera a partir de estapregunta. Sé que la frase es incorrecta si se sustituye la parte del piso de $nx$ por la parte decimal (por ejemplo, ver aquí). Creo que la afirmación es falsa, pero yo no se pudo construir un contra-ejemplo.

Cualquier ayuda se agradece. Gracias!

Answer 1

Si permitimos $n$ a ser un entero arbitrario (y $x$ ser positivo), entonces la respuesta es positiva.

Imitando el caso de que $x$ es una fracción consideramos los números de $a_1=1, a_2=11, a_3=111, ... $. Deje $r_1,r_2,r_3, ...$ ser los restos cuando el $a_i$ están divididos por $x$ ($a_j=n_j*x+r_j$ donde $n_j$ son enteros y $0 \le r_j<x$). Si $i>[x]+1,$, entonces la distancia entre algunos restos $r_k, r_l$ $(1 \le k<l<=i)$ es menor que 1. Como $|r_l - r_k|<1,$ $a_k-a_l=(n_k-n_l)*x+r_k- r_l$ $a_k-a_l$ tener sólo 0 y 1 como dígitos en su expansión decimal y $-1<r_k-r_l<1.$ por lo tanto $[(n_k-n_l)*x] = a_k-a_l$ si $r_k \le r_l$ y $[(n_k-n_l)*x] = a_k-a_l-1 = -111...10000...0001$ si $r_k > r_l.$

Sin embargo, esto contesta a tu pregunta si $x<0$ $[(n_k-n_l)*z]=[(n_l-n_k)*(-z)]$ $z>0$ $n_l-n_k>0.$

Mi conjetura es que usted está interesado en el caso de que $n$ es un número natural y $x>0.$