"Los siguientes son equivalentes"

Question

¿Qué significa para varias declaraciones equivalentes? Y por qué no es suficiente para probar un "cíclica" de la cadena $$A_1\implies A_2\implies \cdots\implies A_n\implies A_1$$ con el fin de mostrar que las condiciones de $A_1, \dots, A_n$ son equivalentes?

Answer 1

Dos estados son equivalentes si

$$A_1\Rightarrow A_2\text{ and } A_2\Rightarrow A_1.$$

Más de dos estados son equivalentes si dos de ellos son equivalentes.

Así que si tienes por ejemplo

$$A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow A_1$$

entonces

$$A_2\Rightarrow A_1$$

por lo $A_1\iff A_2$. De la misma manera se puede mostrar que el$A_2\iff A_3$$A_1\iff A_3$.

Es la idea básica, y que se está trabajando para cualquier cadena de longitud $n$ (se puede demostrar por inducción).

Answer 2

Decir que varias de las afirmaciones son equivalentes significa que si una es verdadera, entonces todas las afirmaciones son verdaderas, y si uno de ellos es falso, son todos falsos. Ahora mira en el ciclo de la cadena de implicaciones que usted escribió. Supongamos que algunos declaración, decir $A_k$, es cierto. A continuación, $A_{k+1}$ es verdadera, por lo $A_{k+2}$ es cierto, y así sucesivamente. Es decir, si uno de ellos es cierto, son todos verdaderos. Del mismo modo, si $A_k$ es falso, a continuación, $A_{k-1}$ debe ser falsa, por lo $A_{k-2}$ debe ser falsa, y así sucesivamente. Así podemos comprobar que todas las afirmaciones por sólo la comprobación de uno de ellos.

Answer 3

Si se ha demostrado la $$A_1\Longrightarrow A_2 \Longrightarrow\ldots\Longrightarrow A_n $$ Para mostrar la equivalencia de todas estas afirmaciones basta para finalmente mostrar $A_n \Longrightarrow A_1$, debido a que el ex implicaciones todos tienen y así se obtiene la equivalencia entre cualquiera de las dos declaraciones.

Por ejemplo, $A_2\iff A_5$ porque $A_2\Longrightarrow A_3\Longrightarrow\ldots\Longrightarrow A_5$ significa que usted tiene $A_2\Longrightarrow A_5$
pero por completar el ciclo también tiene $A_5\Longrightarrow A_6\Longrightarrow\ldots\Longrightarrow A_n\Longrightarrow A_1\Longrightarrow A_2$$A_5\Longrightarrow A_2$.

Answer 4

Supongamos que hemos demostrado que $A_1 \implies A_2 \implies \cdots \implies A_n \implies A_1$. Deje $t(\varphi) \in \{0,1\}$ denotar el valor de verdad de $\varphi$.

A continuación, la secuencia infinita dada por $$ t(A_1), t(A_2), t(A_3), \ldots, t(A_n), t(A_1), t(A_2), \ldots t(A_n), t(A_1), \ldots $$ es periódico y no decreciente, por lo que es constante.

Es decir, de todos los $A_i$ son verdaderas, o todos los $A_i$ son falsas.