¿Puede considerarse esto una definición "rigurosa" de un límite?

Question

Me gustaría mostrar mi definición de límite, junto con un ejemplo:

Dejemos que $f:D\to\mathbb{R}$ , donde $D\subset\mathbb{R}$ . Sea $a\in\mathbb{R}$ . Si algunos $l\in\mathbb{R}$ existe, tal que para todo $x,y\in D$ , $|a-x|<|a-y|\iff |l-f(x)|<|l-f(y)|$ entonces $l$ se llama el límite de la función $f$ y posteriormente: $$\lim_{x\to a}f(x)=l$$

Utilizando esto para demostrar un límite estándar (el ejemplo está tomado de este página):

Queremos demostrar el siguiente límite: $$\lim_{x\to5}(3x-3)=12$$ Según mi definición, aquí $a=5$ y $l=12$ .
Ahora, dejemos que $f(x)=3x-3$ y $domain(f)=D$ . Sea $x,y\in D$ tal que se cumpla la siguiente desigualdad: $$|5-x|<|5-y|$$ Ahora, se siguen los siguientes pasos: $$ |5-x|<|5-y| $$ $$\implies 3|5-x|<3|5-y| $$ $$\implies |3(5-x)|<|3(5-y)|$$ $$\implies |15-3x|<|15-3y| $$ $$\implies |15-3x|<|15-3y| $$ $$\implies |12-f(x)|<|12-f(y)|$$ y así, demostramos la afirmación.

¿Es correcta esta definición?

Answer 1

No, esto no es equivalente a la definición habitual de límite. Consideremos por ejemplo $$f(x) = \begin{cases} x \sin(1/x) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$

Entonces $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ como puede comprobarse fácilmente (nótese que $|f(x)| \le |x|$ para todos $x \in \mathbb{R}$ ).

Sin embargo con su definición entonces $f$ no tendría este límite. De hecho, aplicado a $a = 0$ y $l = 0$ esto significaría que tendríamos $$|x| < |y| \iff |x \sin(1/x)| < |y \sin(1/y)|.$$ Esto es falso. Dejemos que $x = \frac{2}{3\pi}$ y $y = \frac{1}{\pi}$ . Entonces $|x| < |y|$ Sin embargo $|f(x)| = \frac{2}{3\pi} > |f(y)| = 0$ .

Supongo que lo que querías era "el más cercano $x$ es $a$ entonces el más cercano $f(x)$ es $l$ "? El problema con eso, como puedes ver, es que $f(x)$ puede oscilar mucho alrededor de $l$ aunque se acerque cada vez más a ella.

Answer 2

Esta definición dice "siempre que $x$ se acerca a $a$ , $f(x)$ se acerca a $l$ ". Pero ésta no es la definición habitual de límite. Por ejemplo, consideremos $f(x)=x^2$ y $a=0$ . Entonces, como $$\lim_{x \to a} f(x)=0^2=0$$ es obvio que siempre que $x$ se acerca a $0$ entonces $f(x)$ se acerca a $0$ . Sin embargo, también se acerca a cualquier otro número negativo.

Entonces, según tu definición de límite, sería que todo número negativo $l <0$ satisface $$\lim_{x \to 0}x^2=l$$ que no es la noción habitual de límite.

Answer 3

Un problema más grave de esta definición es que el $\iff$ en la desigualdad implica que $f$ toma conjuntos de niveles de distancia a $a$ a conjuntos de niveles de $f$ , por lo que (en intervalos) las únicas funciones continuas según este concepto de límite son lineales.

Para formalizar la propiedad " $x$ más cerca de $a$ implica $f(x)$ más cerca de $L$ ", la flecha en la definición debe ser sólo en la dirección de avance, $\implies$ . Aunque es una propiedad más fuerte que la existencia de un límite, también es cierto que esta propiedad se mantiene en la mayoría de los casos en los que hay un límite.

Answer 4

Según su definición, $\lim_{x\to1}x^2 \neq 1$ Porque.., $|0-1|<|(-1)-1|$ y sin embargo $|f(0)-f(1)| > |f(-1)-f(1)|$ .

Se me ocurrió otra forma: Considere $x^2$ . Como $x$ pasa de -1 a 1, el valor de $f(x)$ primero se aleja de 1, y sólo entonces comienza a acercarse. Con la definición habitual, sólo nos importa una vecindad arbitrariamente pequeña del punto - Así que sólo importa que "eventualmente" se acerque. Pero tu definición es global, y el comportamiento de la función lejos del punto arruina el límite.

Esto es algo similar al ejemplo $x\sin(1/x)$ pero muestra que no se necesitan funciones locas infinitamente oscilantes para ver los defectos de su método. Por supuesto, se puede remediar la dependencia global permitiendo que la desigualdad se mantenga sólo en una vecindad, pero eso complica aún más la definición.

Además, aunque tu función capte algún sentido de "límite global", para llamarla "límite" y darle una notación, tienes que demostrar que un número que satisfaga el requisito es único. (No lo es, como se muestra en otras respuestas).

Answer 5

Es a definición. Se puede aceptar tal cual, y demostrar teoremas basados en esa definición. Pero no es la definición habitual de un límite, y tiene algunas desventajas graves.

Uno: f (x) = 0 no tiene límite :-)

Dos: Una función puede tener más de un límite en un mínimo o un máximo. Tomemos f (x) = $x^2$ . Cualquier l 0 es el límite en a = 0 con esta definición.

Tres: Una función debe ser (más o menos) simétrica para tener un límite - típicamente necesitamos f (a +/- eps) = f (a) +/- delta.

Cuatro: La definición no utiliza sólo propiedades locales. sin (x) no tiene límite en a = 0 porque sin () = 0 de nuevo.

No he pensado demasiado en ello, pero si f (x) tiene un límite en dos puntos a y b, eso podría restringir sustancialmente el aspecto de f (x).