Análisis Real contradicción no puedo deshacerme de

Question

Deje $G$ ser el conjunto de Cantor. Es bien sabido que:

1. $G$ es perfecto y, por tanto, cerrada.
2. $G$ tiene la cardinalidad del continuo.
3. $G$ tiene medida cero.
4. Para cualquier conjunto a $S \subset \mathbb{R}$ (no voy a seguir escribiendo que estamos en $\mathbb{R}$) tenemos a $S \text{ is closed} \Leftrightarrow S^c \text{ is open}$.
5. Cualquier conjunto abierto $O$ puede ser escrito como una --- de hecho único --- contables de la unión de distintos intervalos abiertos.

$G^c$ por lo tanto puede ser escrito como una contables de la unión de distintos intervalos abiertos. Ahora imagínense esta unión como ser superpuestos sobre la línea real gráficamente de la siguiente manera:

R: <<<----(....)---(..)--(.)---------(...)--->>>

donde la (...) representa la apertura distintos intervalos (de diferente tamaño) que componen $G^c$, y el --- representa el resto de los no cubiertos por los números reales (es decir, aquellos en $G$). Ahora podemos cubrir la $\mathbb{R}$ en su totalidad por "coleccionar" la --- en distintos intervalos cerrados. Uno de estos intervalos cerrados de curso constan de un solo elemento. Ahora obtenemos:

R: <<<[--](....)[-](..)[](.)[-------](...)[-]>>>

Tomar la unión de estos distintos intervalos cerrados. Este debe ser $(G^c)^c = G$. Ahora no es difícil imaginar un mapeo de la (...)'s de la [...]'s. Acaba de tomar la próxima (...) en línea para cada [...] (y hacer algo trivial de fijación en los extremos). Por lo tanto hemos escrito $G$ como una contables de la unión de conjuntos cerrados disjuntos. Sin embargo, $G$ tiene medida cero y por lo tanto no puede contener conjuntos cerrados otros que el único tipo de elemento. Por lo tanto $G$ es contable. Contradicción.

¿Dónde puedo ir mal?

Answer 1

Estás imaginando que el abrir los intervalos de $G^c$ están ordenados de forma discreta, como los enteros, por lo que tiene la alternancia de intervalos abiertos en $G^c$ y cerró los intervalos en $G$. Pero en realidad, el abierto de los intervalos de $G^c$ están densamente ordenado, y el orden-isomorfo a las racionales. Como resultado, no hay una "próxima (...) en línea para cada [...]" como usted afirma que hay. Hay una cantidad no numerable de intervalos cerrados (en realidad, todos ellos son sólo puntos) entre esos intervalos, de manera parecida a como hay una cantidad no numerable de números irracionales entre los números racionales. No hay ningún "siguiente número racional" después de cada número irracional que puede utilizar para obtener un bijection entre racionales y irrationals, y lo mismo está sucediendo aquí.