Besos número de igualdad de puntos suspensivos en el avión

Question

Es muy fácil determinar la máxima besos número de círculos (discos) en un avión. Ya tenemos la circunferencia de la $C=2 \pi r$, sólo tomamos la parte entera de la $2\pi$,$6$.

Sin embargo, para elipses, el problema parece ser mucho más complicado. Para obtener el máximo de besos número que necesitamos para organizar los puntos suspensivos en los 'extremos puntiagudos' alrededor del centro de la elipse. Obviamente, para un gran $a/b$ relación, los besos número será grande, así, acercarse a infinito cuando la elipse se convierte en un segmento de línea.

Esta es la forma (torpemente) el embalaje debe ser:

La única aproximación de lo que podía pensar es, para nosotros, la longitud de una elipse fórmula, imaginando los centros de los alrededores de los puntos suspensivos de la mentira sobre otra elipse.

Deje $a,b$ ser los ejes mayor y menor (radios) de los puntos suspensivos estamos de embalaje. A continuación, los besos número es aproximadamente el ser:

$$N \left( \frac{a}{b} \right) \approx \left[\frac{4A}{2b} E \left(1-\frac{B^2}{A^2} \right) \right]=\left[\frac{4a}{b} E \left(1-\frac{(a+b)^2}{4a^2} \right) \right]$$

Aquí $A=2a$ $B=a+b$ son los ejes mayor y menor de la 'externa' de la elipse, en la que los otros puntos suspensivos son arreglados. $E$ es completar la integral elíptica de segunda especie y Mathematica se utiliza la notación para el parámetro, es decir:

$$E(m)=\int_0^{\pi/2} \sqrt{1-m \sin^2 x}dx$$

La aproximación está muy cerca de a $5 a/b$, como podemos ver en el gráfico:

Pero ¿qué tan buena es esta aproximación? Y cómo obtener una mejor estimación (o incluso el valor exacto) para el máximo besos número arbitrario $a/b$ ratio?

Answer 1

Jugando con GeoGebra uno encuentra que su aproximación tiende a sobreestimar el número de besos puntos suspensivos, cuando $a/b$ crece. Posiblemente la mejor fórmula se puede encontrar de la siguiente manera.

Considere dos consecutivos tangente elipses. Sus principales ejes de la mentira en dos líneas normales, reunión en algún punto de $O$: la distancia entre el $O$ y los puntos de tangencia es aproximadamente igual al radio de curvatura $\rho$ de la elipse en los puntos. Los centros de los dos elipses están a una distancia aproximada de $2b$ entre ellos y de $\rho+a$$O$. De ello se deduce que la distancia entre los puntos de tangencia es de aproximadamente $d=2b\rho/(a+\rho)$.

Esta distancia, por supuesto, varía a lo largo de la elipse central, pero podemos calcular su valor medio $\overline{d}$: $$ \overline{d}={1\over2\pi}\int_0^{2\pi}{2b\rho(t)\más de un+\rho(t)}\,dt $$ donde $t$ es de los parámetros habituales y $$ \rho(t)={(a^2\sin^2+b^2\cos^2)^{3/2}\over ab}. $$ Dividiendo la longitud de la elipse por $\overline{d}$ por lo tanto, obtener una estimación del número de $N$ de los besos elipses: $$ N\aprox{4 b E(1 - a^2/b^2)\\overline{d}}. $$ Por desgracia no tuve éxito en la búsqueda de una expresión simple para $\overline{d}$, que luego debe ser evaluado numéricamente. En el siguiente gráfico que he trazado el valor de $N$ dada anteriormente como una función de $a/b$ (azul). Para la comparación que también se representa el resultado de la $N\approx 5a/b$ (rojo).

Creo que esta es una mejor aproximación que el tuyo, pero no sabes lo bueno que es.

EDIT.

He hecho algunos experimentos con GeoGebra: para $a/b=2.87$ mi fórmula da $N\approx13.3$, mientras me las arreglé para poner en la mayoría de las $12$ tangente elipses apretados:

Para $a/b=5.61$ mi fórmula da $N\approx21.8$, e $20$ tangente elipses puede ser dibujado (voy a mostrar dos arreglos diferentes):

Parece que la fórmula anterior para $N$, mientras que todavía sobreestimar el número real de puntos suspensivos, es muy bueno para grandes valores de $a/b$.

EDICIÓN 2.

Considere la posibilidad de un punto de $C$ sobre la prolongación del eje mayor de una elipse, a una distancia $R$ a partir de su vértice más cercano. Un cálculo simple muestra que el ángulo de $\varphi$ entre el eje mayor y una tangente a la elipse que pasa a través de $C$ está dado por $$ \varphi =\arctan{b\\sqrt{R(R+2a)}}. $$ Considere ahora dos consecutivos "besos" puntos suspensivos (ver diagrama a continuación), tocar el interior de la elipse en sus vértices $P_1$ $P_2$ y la tangente entre ellos en $T$. Deje $C$ ser la intersección de sus (producido) grandes ejes: la línea $CT$ (a una muy buena aproximación) una tangente común a ambas elipses, formando ángulos $\varphi_1$ $\varphi_2$ con sus principales ejes, la cual puede ser calculada con la fórmula de arriba.

Distancias $R_1$ $R_2$ puede ser calculada a partir de las coordenadas de $P_1$$P_2$, así como el ángulo de $$ \ángulo P_1CP_2=\arccos{R_1^2+R_2^2-\overline{P_1P_2}^2\over2R_1R_2}. $$ Pero este ángulo es la suma de $\varphi_1$$\varphi_2$, por lo que tenemos la igualdad: $$ \arccos{R_1^2+R_2^2-\overline{P_1P_2}^2\over2R_1R_2}= \arctan{b\\sqrt{R_1(R_1+2a)}}+\arctan{b\\sqrt{R_2(R_2+2a)}}. $$ A partir de esta ecuación se puede, en principio, encontrar $P_2$ una vez $P_1$ es dado. Esto se puede hacer de forma numérica y puede ser utilizado para construir una rutina que realmente encuentra todos los besos puntos suspensivos: a partir de $P_1$ (lo que me llevó a un vértice del interior de la elipse), uno puede encontrar$P_2$, $P_3$ y así sucesivamente, deteniéndose con la última elipse no de la intersección de la primera.

Escribí algunas código de Mathematica que realiza esta tarea, por lo tanto calcular el número de besos elipses. Como un ejemplo, usted puede ver a continuación el caso de $a/c=20$, $55$ tangente elipses. El detalle en la plaza es una ampliación del vértice izquierdo de la zona.

El gráfico siguiente muestra el número de besos puntos suspensivos (puntos negros) como una función de la $a/c$. La línea azul es el valor aproximado se encuentra por encima de.

Para grandes valores de $a/b$ espero que $N\approx 2a/b$, debido a una capa muy fina de la elipse debe comportan aproximadamente como una $2a\times2b$ rectángulo como $a/b\to\infty$, además de algunos pequeños "efecto de borde". Esto es confirmado por los números que tengo de Mathematica, que se grafican a continuación:

He añadido para la comparación de la trama de mi presupuesto (azul) y de $2a/b$ (rojo). Como se puede ver, para valores muy grandes de $a/b$ la regla muy simple $N\approx 2a/b$ es una mejor aproximación. Esta tendencia se confirma incluso para los más grandes valores: $N(1000)=2064$, $N(2000)=4081$, $N(3000)=6094$, $N(4000)=8105$, $N(5000)=10128$.

Como última nota, la ecuación de $\varphi$ anterior podría ser usada para refinar la estimación aproximada dada al principio: una aproximación más precisa de la distancia $d$ entre los dos vértices consecutivos está dada por $$ d=2\rho\arctan{b\\sqrt{\rho(\rho+2a)}}. $$ Una prueba rápida, sin embargo muestra que la estimación que se obtiene de que es mejor que el anterior para valores pequeños de a $a/b$, pero no es una gran mejora si $a/c$ es grande.