Sé que se han publicado preguntas y respuestas similares aquí, pero no entiendo las respuestas. ¿Alguien puede mostrarme cómo resolver este problema de una manera simple? Este es un problema de matemáticas para estudiantes de 8º grado. ¡Muchas gracias!
¿Cuál es la suma de todos los divisores positivos incluso de 1000?
Consideremos primero la factorización en primo de $1000$ . Tenemos:
$$1000=2^3\times 5^3$$
Ahora, ¿cómo podemos enumerar todos los factores de $1000$ ? Vemos que podemos intentar enumerarlas en una tabla:
$$\begin{array}{c|c|c|} & \text{$ 5^0 $} & \text{$ 5^1 $} & \text{$ 5^2 $} & \text{$ 5^3 $} \\ \hline \text{$ 2^0 $} & 1 & 5 & 25 & 125 \\ \hline \text{$ 2^1 $} & 2 & 10 & 50 & 250 \\ \hline \text{$ 2^2 $} & 4 & 20 & 100 & 500 \\ \hline \text{$ 2^3 $} & 8 & 40 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}$$
Vemos que podemos tomar $(2^1+2^2+2^3) \times (5^0 + 5^1 + 5^2 + 5^3) = 2184$ . Para obtener la suma de todos los factores, también incluiríamos $2^0$ en el lado izquierdo de la multiplicación. Excluimos $2^0$ porque esos serían factores Impares.
Un enfoque visual interesante, pero esto sólo funcionaría para números pequeños, ¿no? Si tomo, por ejemplo $1778700=2^2\cdot3^1\cdot5^2\cdot7^2\cdot11^2$ ¿tendrías 5 "dimensiones" para tu tabla, con lo que no sería fácil sacar los factores pares? ¿O hay otra manera?
@hamena314 Todos los factores Impares estarán en la "fila" de 4 dimensiones que corresponde al factor $2^0$ y todos los pares estarán en la fila correspondiente a $2^1$ y $2^2$ . Así que, de nuevo, la suma de los divisores pares positivos será $(2^1 + 2^2) \times (3^0 + 3^1) \times (5^0 + 5^1 + 5^2) \times (7^0 + 7^1 + 7^2) \times (11^0 + 11^1 + 11^2).$
En primer lugar, el factor $1000=2^3\cdot 5^3$ . Un divisor de $1000$ tiene que ser de la forma $2^a\cdot 5^b$ . Si quieres que sea uniforme, necesitas $a \ge 1$ . ¿Cuántas opciones tiene? Puedes simplificar el cálculo (aunque no vale la pena para este caso tan pequeño) haciendo el producto de dos series geométricas. Si quisieras la suma de los divisores pares de $10^{32}$ valdría la pena, y vale la pena entenderlo.
Sabemos que el producto de dos probabilidades es siempre impar y como $1000=2^3\cdot5^3$ los únicos términos de impar son $1$ , $5^1$ , $5^2$ , $5^3$ y su suma es 1 + 5 + 25 + 125 = 156.
También suma de divisores de 1000 = σ( $2^3$ . $5^3$ ) = [( $2^4$ -1)/ (2-1)].[( $5^4$ -1)/(5-1)] = 15.156 = 2340.
Restando la suma de los divisores Impares se obtiene la suma de los divisores pares, 2340-156 = 2184.
Conozco la función para la suma de los divisores de un número, σ ,tal vez un poco nueva para el 8º grado pero es fácil de entender y vale la pena conocerla.
$n$ es un divisor par positivo de $1000$ si y sólo si $n = 2m$ donde $m$ es un divisor de $500$ . Desde $500 = 2^2 \times 5^3$ Hay $(2+1)(3+1) = 12$ divisores de $500$ . Esos divisores son
\begin {array}{rr} 1, & 500, \\ 2, & 250, \\ 4, & 125, \\ 5, & 100, \\ 10, & 50, \\ 20, & 25 \\ \end {array}
por lo que hay $12$ divisores pares positivos de $1000$ .
Esos divisores son
\begin {array}{cc} 2, & 1000, \\ 4, & 500, \\ 8, & 250, \\ 10, & 200, \\ 20, & 100, \\ 40, & 50 \\ \end {array}
La suma de los divisores positivos de $500 = 2^2 \times 5^3$ es igual a $\dfrac{2^3 - 1}{2 - 1} \times \dfrac{5^4 - 1}{5 - 1} = 1092$
Así que la suma de los divisores pares de $1000$ es $2 \times 1092 = 2184$
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@ColinMcLarty ¿Qué hay de, digamos, 8?
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@GoodDeeds Los divisores se corresponden, pero no son idénticos. Cada número
2*kque divide a 1000 corresponde al númerokque divide a 500.0 votos
@chepner Lo había entendido mal, gracias.