¿Se pueden considerar los números reales "pares" o "impares"?

Question

¿Es aplicable el concepto de números pares/impares a los números decimales? Por ejemplo, ¿el 4.222 es un número par?

Answer 1

No estoy diciendo que esta sea una forma de considerar los números "pares" e "impares", pero me parece genial que de alguna manera parezca una generalización de esta noción.

No tiene sentido mirar los dígitos de un número irracional para determinar su "paridad", así que mejor nos quedamos con los números racionales.

Cuando estábamos mirando los enteros, decíamos que un entero era par cuando era divisible por $2$ e impar cuando no lo era. En vez de usar palabras, podríamos dar información mucho mejor, que es definir un mapa $$ \begin{align} \nu_2 : \mathbb N & \to \mathbb N \cup \{ 0 \} \\ n=2^k m & \mapsto k \end{align} $$ donde en este último caso, $m$ es impar. El mapa $\nu$ entonces mide qué tan par es el entero $n, en el sentido de que cuando hay más potencias de 2 que dividen a $n$, se considera "más divisible por dos".

Este concepto se puede generalizar a los números racionales: escribimos $x = a/b$ con $a$ y $b \neq 0$ enteros. Escribimos $a = 2^{k_1} a'$ y $b=2^{k_2} b'$, de modo que $x = 2^{k_1 - k_2} (a'/b')$ y ahora tanto $a'$ como $b'$ son impares. Ahora definimos $\nu$ de nuevo de manera similar : $$ \begin{align} \nu_2 : \mathbb Q & \to \mathbb Z \\ x = \frac{2^{k_1}a'}{2^{k_2}b'} & \mapsto k_1 - k_2. \end{align} $$ Cuando $x$ es un entero, recuperamos el mapa que teníamos antes, así que esto se puede considerar como una extensión de este mapa a los números racionales.

No sé si has estudiado álgebra abstracta, pero voy a desarrollar un poco más las cosas para que los lectores interesados encuentren buena información aquí.

Si reemplazamos $\nu_2$ por $\nu_p$, donde $p$ es un número primo, todo lo que hicimos funciona bien y obtenemos un mapa de $\mathbb Q$ a $\mathbb Z$ que indica cuánto puede ser divisible un racional por $p$ (permitiendo "divisibilidad negativa" en cierto sentido, porque también mide cuántas veces $p$ divide al denominador). Estamos llegando al concepto de una valoración discreta, que se define de la siguiente manera: dado un cuerpo $K$, una valoración discreta $\nu$ es una función de $K^{\times}$, el grupo de unidades, a $\mathbb Z$, que satisface las siguientes propiedades: $$ \begin{align} \nu(ab) & = \nu(a) + \nu(b) \\ \nu(a+b) & \ge \min \{ \nu(a),\nu(b) \} \end{align} $$ y también debe ser sobreyectiva. Esta función tiene muchas propiedades algebraicas interesantes. Recordando información que teníamos anteriormente como "el conjunto de todos los enteros pares forman un anillo", y solo al considerar este mapa y sus propiedades, podemos mostrar que $$ \{ x \in K^{\times} \, | \, \nu(x) \ge 0 \} \cup \{ 0 \} $$ es un subanillo de $K$ que contiene la identidad de $K$. Para algunos ejemplos de cómo esto es relevante, considera esto: si tomamos el mapa $\nu_2$ que teníamos antes (sobre $\mathbb Q$), probar este hecho significa que el conjunto de todos los números racionales con denominador impar forman un subanillo de $\mathbb Q$ (y lo mismo ocurre con el conjunto de todos los números racionales con denominadores primos entre sí a $p$). Las valoraciones se estudian extensamente, y probablemente puedas buscar más información en Wikipedia o pedir una referencia si estás más interesado en esto.

¡Espero que eso ayude!

Answer 2

Supongamos que nos gustaría definir números reales pares/impares de alguna manera similar a como lo hacemos para los enteros. ¿Qué podríamos hacer?

• Podríamos decir que los números pares son todos los múltiplos de 2 por un número real, pero entonces cada número real sería par. Definir tal noción no parece ser útil.

• Podríamos trabajar solo con números reales que tienen expansiones decimales finitas. Y para esos números, podríamos decir que es impar/par basándonos en la paridad del último dígito. La primera desventaja de esta definición es que solo funciona para algunos números. Pero -quizás más importante- no tiene las propiedades habituales de la suma, a saber:
  $0.4+0.6=1$ par+par puede ser impar;
  $0.3+0.7=1$ impar+impar puede ser impar;
  $0.04+0.1=0.14$ par+impar puede ser par.
  Así que esta definición tampoco tendría demasiado sentido.

Answer 3

No, cualquier anillo donde $2$ tiene un inverso $u$ no puede detectar la paridad ya que $\,2u = 1\ \Rightarrow\ 1$ es par, por lo tanto $\ x = 1\cdot x\ $ implica que cada elemento $x$ es par. Sin embargo, hay muchos anillos que sí tienen una noción de paridad compatible con la paridad entera, por ejemplo, el subanillo de los racionales escribibles con denominador impar tienen una paridad obtenida al definir la paridad de $\,m/(2n+1)\,$ como la paridad de $m.\,$

Además, muchos anillos de enteros algebraicos tienen una noción natural de paridad, por ejemplo, los enteros gaussianos $\,m + n\,i,\ m,n \in \mathbb Z\ $ tienen una noción única de aritmética de paridad al definir $\,i\,$ como impar (ver aquí). Ver también este post donde la paridad en $\,\mathbb Z[\sqrt{5}]\,$ muestra que el entero $\,(9+4\sqrt{5})^n + (9-4\sqrt{5})^n\,$ es par.

Answer 4

No.

La clasificación de números pares e impares solo se aplica a números enteros.

Answer 5

Hay varios errores en las respuestas dadas aquí. Primero, los números racionales pueden tener un decimal repetitivo, como 1/6 = 0,16666... etcétera, por lo que no necesariamente tienen una expresión finita cuando se escriben en forma decimal. La definición de 'par' e 'impar' tiene más sentido en el contexto de la exponenciación. Si tenemos un exponente par, entonces tenemos dos raíces (reales o imaginarias). Si tenemos un exponente impar, entonces tenemos solo una.

Ahora, si r es un número racional r = m/n, asegúrate de expresarlo primero como una fracción irreducible, para que el numerador m y el denominador n no tengan otros divisores comunes aparte de 1 (o -1 al considerar números negativos). Pero primero veamos números positivos. Si escribimos r como una fracción irreducible m/n, entonces m y n no pueden ser ambos pares. ¿Por qué no? Porque m y n pueden ser divididos por 2 y m/n no es una fracción irreducible en ese caso. Supongamos que m es par. Por lo tanto, n debe ser impar en ese caso. Luego podemos escribir a^(2k/n) como [a^(k/n)]^2. Este número siempre será positivo, porque estamos elevando algo al cuadrado. Por lo tanto, no importa si el término entre corchetes, es decir, a^(k/n) tiene una o dos raíces: las elevaremos al cuadrado y el resultado será siempre positivo.

Ahora supongamos que m es impar (la segunda posibilidad). Luego podemos escribir a^(m/n) como [a^(1/n)]^m. Entonces ahora dependerá de si n es par o impar. Si n es par, tenemos dos raíces reales, si n es impar, entonces tenemos solo una. Puedes trabajar algunos ejemplos por tu cuenta.

Por lo tanto, tenemos dos raíces si m es impar y n es par, y solo una en todos los demás casos. Sin embargo, dijimos que m y n no pueden ser ambos pares, por lo tanto, si n es par, m debe ser impar. En resumen, podemos decir que un exponente racional m/n es par (es decir, habrá dos raíces) si n es par.

Entonces, ¿dónde están estos números pares en la línea real? Están en todas partes: podemos comenzar desde 1/2 y luego cambiar el numerador: 3/2, 5/2, etcétera. Todo está bien, siempre que usemos un número impar. Sin embargo, también podemos disminuir y cambiar el denominador: 1/4, 1/6, 1/8, etcétera. Y luego, por supuesto, podemos tomar múltiplos impares de estas fracciones una vez más, como 1025/1024 = 1,0009765625, por ejemplo, o en el otro lado, 1023/1024 = 0,9990234375. Entonces aquí tenemos dos números pares justo al lado del número impar 1. Podemos aumentar la precisión: podríamos tomar 3587/3588 y 3589/3588, por ejemplo.

Por supuesto, es posible que hayas notado algo aquí. En primer lugar, por supuesto, es que hemos definido estos dos números pares 1,0009765625 y 0,9990234375 con una precisión de 10 dígitos detrás del punto decimal, es decir, 1/1024 = 1/(2^10) = 0,0009765625. El segundo punto a tener en cuenta es que el último dígito de estos dos coeficientes racionales, cuando se expresan como un decimal, era 5. Ahora, podrías pensar que siempre debería ser así por ese factor de 1/2. Pero no es cierto: como se mencionó anteriormente, 1/6 es un ejemplo de un número racional que, escrito en forma decimal, resultará en 0,166666... Esto es una expresión con un decimal periódico. Y 1/10, por supuesto, simplemente da como resultado 0,1. Por lo tanto, no hay una regla fácil aquí. Necesitas mirar la fracción en sí misma, y los números racionales son o un decimal finito o un decimal periódico infinito. Por supuesto, hay reglas para eso, pero puedes buscar más información al respecto si te interesa.