¿Se pueden considerar los números reales como "pares" o "impares"?

Question

¿Se aplica el concepto de números pares / impares a los números decimales? Por ejemplo, - ¿4.222 es un número par?

Answer 1

No estoy diciendo que esta sea una forma de considerar números "pares" e "impares", pero creo que es bastante interesante que de alguna manera parezca una generalización de esta noción.

No tiene sentido mirar los dígitos de un número irracional para determinar su "paridad", por lo tanto, vamos a quedarnos con los números racionales.

Cuando estábamos mirando los enteros, decíamos que un entero era par cuando era divisible por $2$ e impar cuando no lo era. En lugar de usar palabras, podríamos dar mucha mejor información, que es definir un mapa $$ \begin{align} \nu_2 : \mathbb N & \to \mathbb N \cup \{ 0 \} \\ n=2^k m & \mapsto k \end{align} $$ donde en este caso, $m$ es impar. El mapa $\nu$ entonces mide qué tan par es el entero $n, en el sentido de que cuando hay más potencias de 2 que dividen a $n, se considera "más divisible por dos".

Este concepto puede generalizarse a los números racionales: escribimos $x = a/b$ con $a$ y $b \neq 0$ enteros. Escribimos $a = 2^{k_1} a'$ y $b=2^{k_2} b'$, de manera que $x = 2^{k_1 - k_2} (a'/b')$ y ahora tanto $a'$ como $b'$ son impares. Ahora definimos $\nu$ de nuevo de una manera similar : $$ \begin{align} \nu_2 : \mathbb Q & \to \mathbb Z \\ x = \frac{2^{k_1}a'}{2^{k_2}b'} & \mapsto k_1 - k_2. \end{align} $$ Cuando $x$ es un entero, recuperamos el mapa que teníamos antes, por lo que esto puede considerarse una extensión de este mapa a los números racionales.

No sé si has estudiado álgebra abstracta, pero voy a desarrollar un poco más las cosas para que los lectores interesados encuentren buena información aquí.

Si reemplazamos $\nu_2$ por $\nu_p$, donde $p$ es un número primo, todo lo que hicimos funciona bien y obtenemos un mapa de $\mathbb Q$ a $\mathbb Z$ que indica cuánto puede ser divisible una racional por $p$ (permitiendo "divisibilidad negativa" en cierto sentido, porque también mide cuántas veces $p$ divide al denominador). Estamos llegando al concepto de una valoración discreta, que se define de la siguiente manera: dada un campo $K$, una valoración discreta $\nu$ es una función de $K^{\times}$, el grupo de unidades, a $\mathbb Z$, que satisface las siguientes propiedades: $$ \begin{align} \nu(ab) & = \nu(a) + \nu(b) \\ \nu(a+b) & \ge \min \{ \nu(a),\nu(b) \} \end{align} $$ y también debe ser sobreyectiva. Esta función tiene muchas propiedades algebraicas interesantes. Recordando información que teníamos antes como "el conjunto de todos los enteros pares forman un anillo", y solo considerando este mapa y sus propiedades, podemos mostrar que $$ \{ x \in K^{\times} \, | \, \nu(x) \ge 0 \} \cup \{ 0 \} $$ es un subanillo de $K$ que contiene la identidad de $K$. Para algunos ejemplos de cómo esto es relevante, considera lo siguiente: si tomamos el mapa $\nu_2$ que teníamos antes (sobre $\mathbb Q$), demostrar este hecho significa que el conjunto de todos los números racionales con denominador impar forman un subanillo de $\mathbb Q$ (y lo mismo sucede con el conjunto de todos los números racionales con denominadores coprimos a $p$). Las valoraciones se estudian extensivamente, y probablemente puedas buscar información al respecto en Wikipedia o pedir una referencia si estás más interesado en esto.

¡Espero que eso ayude!

Answer 2

Supongamos que nos gustaría definir números reales pares/impares de alguna manera similar a como lo hacemos para los enteros. ¿Qué podríamos hacer?

• Podríamos decir que los números pares son todos los múltiplos de 2 por un número real, pero entonces cada número real sería par. Definir tal noción no parece ser útil.

• Podríamos trabajar solo con números reales que tengan expansiones decimales finitas. Y para tales números, podríamos decir que es impar/par basado en la paridad del último dígito. La primera desventaja de esta definición es que solo funciona para algunos números. Pero, quizás más importante, no tiene las propiedades habituales de la suma, a saber:
  $0.4+0.6=1$ par+par puede ser impar;
  $0.3+0.7=1$ impar+impar puede ser impar;
  $0.04+0.1=0.14$ par+impar puede ser par.
  Así que esta definición tampoco tendría demasiado sentido.

Answer 3

En un anillo donde $2$ tiene un inverso $u$, no es posible definir la paridad ya que $\,2u = 1\ \Rightarrow\ 1$ es par, por lo tanto $\ x = 1\cdot x\ $ implica que cada elemento $x$ es par. Sin embargo, hay muchos anillos que sí tienen una noción de paridad compatible con la paridad de números enteros, por ejemplo, el subanillo de racionales expresables con denominador impar tiene una paridad definida por $\,m/(2n+1)\,$ siendo la paridad de $m.\,$

Además, muchos anillos de enteros algebraicos tienen una noción natural de paridad, por ejemplo, los enteros gaussianos $\,m + n\,i,\ m,n \in \mathbb Z\ $ tienen una única noción de paridad aritmética al definir $\,i\,$ como impar (ver aquí). Ver también este artículo donde la paridad en $\,\mathbb Z[\sqrt{5}]\,$ muestra que el entero $\,(9+4\sqrt{5})^n + (9-4\sqrt{5})^n\,$ es par.

Answer 4

No.

La clasificación de números pares e impares solo se aplica a los enteros.

Answer 5

Hay varios errores en las respuestas dadas aquí. En primer lugar, los números racionales pueden tener un decimal repetitivo, como 1/6 = 0.16666... etcétera, por lo que no necesariamente tienen una expresión finita cuando se escriben en forma decimal. La definición de 'par' e 'impar' tiene más sentido en el contexto de la exponenciación. Si tenemos un exponente par, entonces tenemos dos raíces (reales o imaginarias). Si tenemos un exponente impar, entonces tenemos solo una.

Ahora, si r es un número racional r = m/n, asegúrate de expresarlo primero como una fracción irreducible, de modo que el numerador m y el denominador n no tengan otros divisores comunes que 1 (o -1 cuando se consideran números negativos). Pero primero veamos los números positivos. Si escribimos r como una fracción irreducible m/n, entonces m y n no pueden ser ambos pares. ¿Por qué no? Porque m y n pueden ser divididos por 2 y m/n no es una fracción irreducible en ese caso. Supongamos que m es par. Por lo tanto, n debe ser impar en ese caso. Luego podemos escribir a^(2k/n) como [a^(k/n)]^2. Este número siempre será positivo, porque estamos elevando algo al cuadrado. Así que no importa si el término entre corchetes, es decir, a^(k/n) tiene una o dos raíces: las elevaremos al cuadrado y así el resultado siempre será positivo.

Ahora supongamos que m es impar (la segunda posibilidad). Entonces podemos escribir a^(m/n) como [a^(1/n)]^m. Por lo tanto, dependerá de si n es par o impar. Si n es par, tenemos dos raíces reales, si n es impar, entonces tenemos solo una. Puedes trabajar algunos ejemplos por ti mismo.

Así que tenemos dos raíces si m es impar y n es par, y solo una raíz en todos los demás casos. Sin embargo, dijimos que m y n no pueden ser ambos pares, por lo tanto, si n es par, m debe ser impar. En resumen, podemos decir que un exponente racional m/n es par (es decir, habrá dos raíces) si n es par.

Entonces, ¿dónde están estos números pares en la recta real? Están en todas partes: podemos empezar desde 1/2 y luego cambiar el numerador: 3/2, 5/2, etcétera. Está bien, siempre y cuando usemos un número impar. Sin embargo, también podemos ir hacia abajo y cambiar el denominador: 1/4, 1/6, 1/8, etcétera. Y luego, por supuesto, podemos tomar múltiplos impares de estas fracciones nuevamente, como 1025/1024 = 1.0009765625, por ejemplo, o por el otro lado, 1023/1024 = 0.9990234375. Entonces tenemos dos números pares aquí justo al lado del número impar 1. Podemos aumentar la precisión: podríamos tomar 3587/3588 y 3589/3588, por ejemplo.

Por supuesto, habrás notado algo aquí. En primer lugar, por supuesto, es que hemos definido estos dos números pares 1.0009765625 y 0.9990234375 con una precisión de 10 dígitos detrás del punto decimal, es decir, 1/1024 = 1/(2^10) = 0.0009765625. El segundo punto a tener en cuenta es que el último dígito de estos dos coeficientes racionales, cuando se expresan como decimal, fue 5. Ahora, podrías pensar que siempre debería ser ese el caso debido a ese factor 1/2. Pero no es cierto: como se mencionó anteriormente, 1/6 es un ejemplo de un número racional que, escrito en forma decimal, dará como resultado 0.166666... Esta es una expresión con un decimal recurrente. Y 1/10, por supuesto, simplemente da como resultado 0.1. Por lo tanto, no hay una regla fácil aquí. Necesitas mirar la fracción en sí misma, y los números racionales son o bien un decimal finito o un decimal repetitivo infinito. Por supuesto, hay reglas para eso, pero puedes buscar más información al respecto si estás interesado en esto.