Intuición sobre sumas infinitas

Question

Me preocupan especialmente estas dos sumas: $$\sum_{x=\color{red}0}^\infty \frac{1}{2^x} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} ... = 2$$

y

$$\sum_{x=1}^\infty \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ... = \infty $$

Ahora bien, conozco y entiendo las pruebas que dicen que la primera suma converge a dos y la segunda es divergente. ( probablemente no deberías equiparar así una serie divergente ).

Pero, a nivel intuitivo, ¿qué separa a estas dos sumas de tal manera que sus límites son tan drásticamente diferentes?

Ambas sumas suman números muy pequeños al final ( por ejemplo $\frac{1}{10000000000}$ ), pero uno siempre se queda más pequeño que dos y uno va mucho más allá. Se podría pensar ( de nuevo, a nivel intuitivo, las matemáticas son claras) que los números se vuelven tan pequeños que hay un cierto número que ya no cambia (significativamente).

Por ejemplo:

$$\sum_{x=1}^{100} \frac{1}{x} = ca. 5 $$

$$\sum_{x=1}^{1000000} \frac{1}{x} = ca. 14.3 $$

$$\sum_{x=1}^{10000000000000000000000000000000} \frac{1}{x} = ca. 73.5 $$

Como se puede ver, el crecimiento se ralentiza drásticamente, en algún momento debería llegar a ser infinitamente pequeño, al igual que con la primera suma ( fracción, potencias de dos ).

Answer 1

Esto está relacionado con la rapidez con la que disminuyen los términos.

Una serie geométrica (su $1/2^x$ ) es tal que cada término es una fracción constante del anterior, de modo que dividir por esta constante es lo mismo que eliminar el primer término.

$$\frac12\left(1+\frac12+\frac14+\frac18\cdots\right)=\frac12+\frac14+\frac18\cdots$$ Así que puedes escribir

$$\frac12S=S-1$$ y deduzcan $S=2$ .

El mismo razonamiento se aplica a todas las series geométricas

$$\sum_{k=0}^\infty r^k$$

siempre que $r<1$ . De hecho, si $r=1$ o $r>1$ la suma crece claramente para siempre. (Esta discusión simplificada ignora el caso $r<0$ .)

Esto conduce a un sencillo criterio de convergencia: si la relación de los términos sucesivos es una constante menor que $1$ la serie converge. De forma más general, si esta relación es variable pero tiende a un límite menor que $1$ la serie converge.

Por el contrario, si la relación tiende a un límite mayor que $1$ la serie diverge. Pero si la relación tiende a $1$ Si no lo sabemos, el criterio es insuficiente.

El caso de la serie armónica ( $1/n$ ) o la serie armónica generalizada ( $1/n^p$ ) entra precisamente en esta categoría, ya que

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^p=1.$$

Para solucionarlo, un truco consiste en sumar los términos en grupos de tamaño creciente (duplicando), de modo que las sumas superen una constante. Más concretamente,

$$\begin{gather} 1,\\ \frac12,\\ \frac13+\frac14 > \frac14+\frac14 = \frac12,\\ \frac15+\frac16+\frac17+\frac18 > \frac18+\frac18+\frac18+\frac18 = \frac12,\\ \cdots \end{gather}$$

Aunque los grupos son cada vez más largos, se puede continuar para siempre y la suma crece hasta el infinito.

Si se repite el razonamiento con el exponente $p$ ,

$$\begin{gather} 1,\\ \frac1{2^p},\\ \frac1{3^p}+\frac1{4^p} > \frac1{4^p}+\frac1{4^p} = \frac2{4^p}=\frac1{2^{2p-1}},\\ \frac1{5^p}+\frac1{6^p}+\frac1{7^p}+\frac1{8^p} > \frac1{8^p}+\frac1{8^p}+\frac1{8^p}+\frac1{8^p} = \frac4{8^p} = \frac1{2^{3p-2}},\\ \cdots \end{gather}$$

En esta nueva serie, la relación de los términos sucesivos tiende a $2^{p-1}$ y por el primer criterio, se puede concluir la convergencia para $p>1$ y la divergencia para $p<1$ . (Una discusión completa debe implicar un límite superior similar, omitido aquí).

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En resumen, por orden decreciente de la tasa de disminución

$$\sum r^n, r<1\text{ converges}$$ $$\sum \frac1{n^p}, p>1\text{ converges}$$ $$\sum \frac1{n^p}, p=1\text{ diverges}$$ $$\sum \frac1{n^p}, p<1\text{ diverges}$$ $$\sum r^n, r=1\text{ diverges}$$ $$\sum r^n, r>1\text{ diverges}$$

Para otras series, se puede comparar con estos índices de disminución. Por ejemplo, con el término general $1/n!$ el límite de la relación es $\lim_{n\to\infty}n!/(n+1)!=0$ y la serie converge, más rápido que cualquier serie geométrica. O $1/\sqrt[3]{n^2+1}$ hace una serie divergente porque el término general tiende a $1/n^{2/3}$ .

Las curvas siguientes muestran la tendencia de los términos de las secuencias en una escala logarítmica . El verde corresponde a la serie armónica, que es una frontera entre las series convergentes y divergentes.

Answer 2

Para ayudar a su intuición sobre por qué no basta con que los términos individuales se vuelvan arbitrariamente pequeños, considere la siguiente serie: \begin{aligned} a &= \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-\lfloor \log_2 k\rfloor}\\ &= 1 + \underbrace{\frac12 + \frac12}_{=1} + \underbrace{\frac14+\frac14+\frac14+\frac14}_{=1} + \underbrace{\frac18+\frac18+\frac18+\frac18+\frac18+\frac18+\frac18+\frac18}_{=1} + \ldots \end{aligned} Es evidente que los términos individuales de esta serie se hacen pequeños de forma arbitraria, pero hay un número suficiente de ellos para que la suma siga sumando un número grande arbitrario; de hecho, para cualquier número entero positivo $n$ El primer $2^n-1$ los términos se suman a $n$ .

Por tanto, para que la serie converja, no basta con que los términos se hagan arbitrariamente pequeños, sino que tienen que hacerse pequeños lo suficientemente rápido que su número creciente no compensa su valor decreciente.

Answer 3

La diferencia no está en lo pequeños que se vuelven los términos... como dice OP, en ambos casos se vuelven arbitrariamente pequeños... sino en cuántos términos hay de un tamaño determinado. Por ejemplo, digamos que dos términos tienen el mismo tamaño si sus primeros dígitos binarios no nulos están en el mismo lugar. En la primera suma, se tiene un término de tamaño $1$ , uno de tamaño $1/2$ , uno de tamaño $1/4$ , uno de tamaño $1/8$ etc. En la segunda suma, se tiene un término de tamaño $1$ , uno de tamaño $1/2$ pero luego dos de tamaño $1/4$ ( $1/3$ y $1/4$ ), cuatro de tamaño $1/8$ ( $1/5$ a través de $1/8$ ), etc. Cada vez que el tamaño se reduce a la mitad, el número de términos de ese tamaño se duplica; así, la contribución de los términos de cada tamaño nunca disminuye, y la magnitud de la suma marcha constantemente hacia el infinito.

Answer 4

La intuición no es tan intuitiva.

Basta con echar un vistazo a esto $$\sum_{k=N}^{2N}\frac{1}{k}\geq\sum_{k=N}^{2N}\frac{1}{2N}=\frac{1}{2}.$$

Entonces $$\sum_{k=1}^{4^{n}}\frac{1}{k}\geq n.$$

Así que la secuencia $(\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k})_{m=1}^{\infty}$ no tiene límites superiores. Puede parecer contraintuitivo porque el crecimiento de $4^{n}$ es demasiado rápido para nuestra "intuición".

Answer 5

Usar las integrales es la mejor intuición que he tenido hasta ahora sobre esto. Traza la función $f(x)=\frac{1}{x}$ y luego para cada $i$ , dibujar un histograma con $\frac{1}{i}$ altura. Se puede ver fácilmente: $$\int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx<\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}<1+\int_1^{n} \frac{1}{x} dx$$ desplazando los histogramas hacia la izquierda.

Por lo tanto, $$\ln(n+1)<\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}<1+\ln(n)$$ Y creo que el teorema del sándwich es bastante intuitivo.