¿Cuándo tiene sentido un "polinomio infinito"?

Question

Supongamos que elijo una colección de $A \subset \mathbb{C}$ de los puntos en el plano complejo y el intento de construir un "polinomio" con esas raíces a través de, $$f(z):=\Pi_{\alpha \in A} (z-\alpha).$$

Si $A$ es finito, obtenemos un polinomio.

Si $A=\{n\pi:n \in \mathbb{Z}\}$, según Euler, obtenemos $f(x)=\sin(x)$. Edit: este ejemplo no es correcto como Qiaochu ha señalado; ver su respuesta para más detalles.

¿Qué pasa con otros subconjuntos del plano complejo? Otras contables subconjuntos sin acumulación de puntos? Contables sub con la acumulación de puntos como $A=\{1/n:n \in \mathbb{Z}\}$? Innumerables subconjuntos?? Cuando se hace el producto convergen, y si lo hace, ¿cómo la distribución espacial de $A$ efecto de las propiedades de $f$?

Esta pregunta fue motivado por la pregunta aquí: Determinación de la densidad de raíces de un polinomio infinito

Answer 1

Eso no es lo que Euler producto de la expansión de la sinusoidal parece. Es muy suponía que debía estar en la forma $$\frac{\sin z}{z} = \prod_{n \ge 1} \left( 1 - \frac{z^2}{\pi^2 n^2} \right).$$

El producto que has escrito no converge para $A = \{ n \pi \}$ si $z \in A$. De hecho, sus factores no vaya a $1$, que es una condición necesaria exactamente análoga a la condición para la serie infinita que los términos de la necesidad de ir a $0$. De hecho, uno puede cambiar entre infinitas sumas y productos infinite utilizando el logaritmo, la cual puede ser usada para probar el siguiente.

(Primero debo mencionar que el teorema siguiente requiere la convención en la que un producto que tiende a $0$ se dijo a divergir. Esto es debido a que el logaritmo de un producto diverge a $-\infty$.)

Teorema: Vamos a $a_n \in \mathbb{C}$ ser una secuencia tal que $\sum |a_n|^2$ converge. A continuación, $\prod (1 + a_n)$ converge si y sólo si $\sum a_n$ converge.

Sketch. Utilice el hecho de que $\log (1 + a_n) = a_n + O(|a_n|^2)$.

Así que podemos hacer sentido de la "infinita polinomio"

$$\prod_{\alpha \in A} \left( 1 - \frac{z}{\alpha} \right)$$

para los contables de $A$ tal que $\sum_{\alpha \in A} \frac{1}{|\alpha|^2}$ $\sum_{\alpha \in A} \frac{1}{\alpha}$ ambos convergen. Véase también la factorización de Weierstrass teorema.

Tenga en cuenta que por el teorema de identidad, los ceros de una holomorphic función están aislados, por lo que si usted quiere que su producto sea de holomorphic con $A$ como su ajuste a cero, $A$ tiene que ser discretos.

Infinitas sumas y productos no se comportan bien para una cantidad no numerable de términos, la razón básica de ser el siguiente.

Teorema: Vamos a $S$ ser un innumerable conjunto de los números reales positivos. Entonces para un real positivo $r$, hay un finito subconjunto de $S$ cuya suma es mayor que $r$.

(En otras palabras, no se suma con una cantidad no numerable de términos puede convergen absolutamente.)

Prueba. Los conjuntos de $S_{\epsilon} = \{ s : s \in S, s > \epsilon \}$ $\epsilon$ positivos racionales son numerables colección de conjuntos cuya unión es $S$. Desde una contables de la unión de conjuntos contables es contable, se desprende que no existe $\epsilon$ tal que $S_{\epsilon}$ es incontable. A continuación, el resultado es claro.