Este es un Jaynes-Cummings modelo con dos modo de campo electromagnético. Uno puede encontrar algo de literatura sobre (por ejemplo, ver aquí y referencias de la misma) y algunas soluciones exactas son también conocidos. Pero, si usted contentarse con una perturbación soulution para el parámetro completa de Hamilton, esto se puede lograr de la siguiente manera.
En primer lugar, mover a la interacción de la imagen. Esto le dará el siguiente Hamiltoniano (voy a quitar los sombreros, ya que no hay ninguna dificultad para decirle a los operadores):
$$H_I = {g_1}\left( {{{a}_1}{{\sigma }_ + }e^{i\Delta_1t} + a_1^\dagger {{\sigma }_ e^{-i\Delta_1t}- }} \right) + {g_2}\left( {{{a}_2}{{\sigma }_ + }e^{i\Delta_2t} + a_2^\dagger {{\sigma }_ - }e^{i\Delta_2t}} \right).$$
He obtenido esto después de una transformación unitaria en $H$, $U_0(t)=e^{-iH_0t}$, ser $H_0=\frac{\Delta}{2}\sigma_z+\omega_1a_1^\dagger a_1+\omega_2a_2^\dagger a_2$ y tras la introducción de las desviaciones de tono $\Delta_1=\Delta-\omega_1$$\Delta_2=\Delta-\omega_2$. Muy interesante la física entra en juego cuando estas desviaciones de tono se les permite ir a 0, pero aquí tomamos ellos no nulos. Ahora, el problema es resolver la ecuación
$$H_I(t)U_I(t)=i\frac{\partial}{\partial t}U_I(t)$$
ser $U_I(t)$ el tiempo de evolución de operador en la interacción de la imagen. Su solución se obtiene mediante el cálculo de $U(t)=e^{-iH_0t}U_I(t)$. La idea es extraer la diagonal contribuciones de $U_I(t)$ y evaluar a partir de estos aproximado de los autovalores para el Hamiltoniano empezamos. Ahora, la ecuación de Schroedinger puede ser rewritte en forma integral como
$$U_I(t)=I-i\int_0^tdt'H_I(t')U_I(t')$$
donde he utilizado el hecho de que $U_I(0)=I$ y he puesto $t_0=0$ siendo esta arbitraria. Esta es ahora una parte integral de la ecuación como te das cuenta de que el desconocido es también bajo el signo integral. Pero este eqaution puede ser resuelto de forma iterativa para dar el llamado Dyson serie de perturbaciones dependiente del tiempo, comenzando con una solución de $U_I(t)=I$ como primera iteración
$$U_I(t)=I-i\int_0^tdt'H_I(t')-\int_0^tdt'H_I(t')\int_0^{t'}dt''H_I(t'')+\ldots$$
Ahora, podemos insertar nuestro Hamiltoniano en la interacción de la imagen en esta serie y obtenemos (recuerde que $(\sigma_+)^2=(\sigma_-)^2=0$)
$$U_I(t)=I-i\int_0^tdt'\left[{g_1}\left( {{{a}_1}{{\sigma }_ + }e^{i\Delta_1t'} + a_1^\dagger {{\sigma }_ e^{-i\Delta_1t'}- }} \right) + {g_2}\left( {{{a}_2}{{\sigma }_ + }e^{i\Delta_2t'} + a_2^\dagger {{\sigma }_ - }e^{i\Delta_2t'}} \right)\right]-$$
$$-\int_0^tdt'\int_0^{t'}dt''\left[g_1^2\left(a_1a_1^\dagger\sigma_+\sigma_-e^{i\Delta_1(t'-t'')}+a_1^\dagger a_1\sigma_-\sigma_+e^{-i\Delta_1(t'-t'')}\right)\right.$$
$$+g_2^2\left(a_2a_2^\dagger\sigma_+\sigma_-e^{i\Delta_2(t'-t'')}+a_2^\dagger a_2\sigma_-\sigma_+e^{-i\Delta_2(t'-t'')}\right)$$
$$\left.2g_1g_2\left(a_1a_2^\dagger\sigma_+\sigma_-e^{i(\Delta_2 t'-\Delta_1t'')}+a_1^\dagger a_2\sigma_-\sigma_+e^{-i(\Delta_2 t'-\Delta_1 t'')}\right)\right]+\ldots$$
Los términos que nos interesan son aquellos que tienen un "secular" de la conducta ya que increses lienarly con el tiempo y estos son sólo los primeros temrs de la expansión de una evolución en el tiempo del operador en la forma $e^{-i\delta H_0 t}\approx I-i\delta H_0 t+\ldots$ $\delta H_0$ la corrección a la imperturbable de Hamilton. Estos salen de los términos de segundo orden en el Dyson serie producimg
$$U_I(t)=I-\ldots-i\frac{g_1^2}{\Delta_1}\left(a_1a_1^\dagger\sigma_+\sigma_-+a_1^\dagger a_1\sigma_-\sigma_+\right)t$$
$$-i\frac{g_2^2}{\Delta_2}\left(a_2a_2^\dagger\sigma_+\sigma_-+a_2^\dagger a_2\sigma_-\sigma_+\right)t+\ldots$$
En este punto vamos a utilizar el hecho de que $[a_i,a_i^\dagger]=1$ la obtención de
$$U_I(t)=I-\ldots-i\frac{g_1^2}{\Delta_1}a_1^\dagger a_1t-i\frac{g_1^2}{\Delta_1}\sigma_+\sigma_-t$$
$$-i\frac{g_2^2}{\Delta_2}a_2^\dagger a_2t-i\frac{g_2^2}{\Delta_2}\sigma_+\sigma_-t+\ldots$$
Volviendo a $U_0(t)=I-i\frac{\Delta}{2}\sigma_zt-i\omega_1a_1^\dagger a_1t-i\omega_2a_2^\dagger a_2t+\ldots$ y la recolección de todos juntos hemos de reconocer un nuevo imperturbable Hamiltoniano dado por
$$H_0^'=\frac{\Delta}{2}\sigma_z+\frac{g_1^2}{\Delta_1}\frac{1}{2}(1+\sigma_z)+\frac{g_2^2}{\Delta_2}\frac{1}{2}(1+\sigma_z)+\left(\omega_1+\frac{g_1^2}{\Delta_1}\right)a_1^\dagger a_1$$
$$+\left(\omega_2+\frac{g_2^2}{\Delta_2}\right)a_2^\dagger a_2$$
a partir de la cual se puede leer en el nuevo autovalores. Usted notará que el estado excitado es más alto. Esto es exactamente lo que uno debe esperar de Rayleigh-Schroedinger estacionaria perturbación método. De los otros términos de la serie que será capaz de recuperar también los vectores propios (ver aquí). Usted también puede ampliar este enfoque para el caso cuando uno de los dos desviaciones de tono es cero como uno de los dos contribución es sólo el bien knwon Jaynes-Cummings Hamiltoniano para un solo modo.
