No realizabilidad de $\mathbb{Q}$ como un grupo de cohomología

Question

En el libro "sobre la realizabilidad de los grupos de cohomología singular" por Kan y Whitehead, se muestra que no existe ningún espacio $X$y entero $n\geq 1$ tal que $H^{n-1}(X)=0$ y $H^n(X)=\mathbb{Q}$ (cohomología con coeficientes integrales).

Al final del artículo hay una nota donde se afirma que, en el momento de la escritura (alrededor de 1960, supongo), no se sabía si $\mathbb{Q}$ podría ser un grupo de cohomología singular (integral) en todo.

¿Mi pregunta es: es esto todavía no se conoce?

Answer 1

Esta pregunta ha sido formulada y contestada en MathOverflow. Me han replicado la aceptó responder por Oscar Randal-Williams a continuación.

Esto puede depender de su axiomas, ver

S. Sela, "La consistencia de Ext(G,Z)=Q", Israel J. Math. 39 (1981), no. 1-2, 74-82.

Allí se muestra que es consistente con la generalización en el continuum de la hipótesis de que existe un grupo de $G$ tener $Ext(G, \mathbb{Z})=\mathbb{Q}$. Luego de Moore espacio de $M(G,n-1)$ tiene la propiedad requerida.