¿Es verdad que si dos conjuntos abiertos en un espacio topológico entrecruzan entre sí y comparten el mismo límite, son lo mismo?

Question

Supongamos que tenemos un espacio topológico $(X,\mathcal T)$. Sistemas abiertos $A,B$ tienen las siguientes propiedades:

$A\cap B\ne\emptyset$

$\partial A=\partial B$

Entonces $A=B$. ¿Es correcto? Si es así, ¿cómo probarlo?

Answer 1

Otras respuestas han demostrado que esto no tiene que ser cierto en general. Sin embargo, es cierto si usted asume $A$ y $B$ están conectados. De hecho, implica la $\partial A\subseteq \partial B$ $A\cap B$ se cierra como un subconjunto de $B$, y por lo tanto, $B$ puesto que es también abierta en $B$ y no vacío. Del mismo modo, $A\cap B$ deben ser todos de $A$ así.

Answer 2

La topología discreta en decir los números naturales y que $A$ y $B$ distintos conjuntos con intersección no vacía. Sus límites están vacíos, por lo que tienen el mismo límite.

Answer 3

Como se ha señalado por Josh Keneda, $A=\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ $B=\mathbb{R}^2\setminus\partial A$ dar un contra-ejemplo.

Usted puede tener más enrevesada conter-por ejemplo, mediante la consideración de las cuencas de atracción, en $\mathbb{C}$, para el método de Newton del mapa aplicada a $p(x)=x^3-1$. Suponiendo que para algunos $w\in\mathbb{C}$ itera $\varphi^{(n)}(w)=\varphi(\varphi^{(n-1)}(w))$ convergen, con: $$\varphi(x) = \frac{1}{3x^2}+\frac{2x}{3},$$ convergen a una tercera raíz de la unidad, sino $A_1,A_{\omega},A_{\omega^2}$ (con el significado obvio) comparten el mismo límite:

$\hspace2in$

por lo $A_1\cup A_\omega$ $A_1\cup A_{\omega^2}$ dar otro contra-ejemplo.

Answer 4

Que $A=B \cup C$ donde $C$ es abierto y cerrado, $B$ está abierta, $B$ y $C$ son disjuntos y ni $B$ ni $C$ están vacíos. $A$ Y $B$ tienen el mismo límite.