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¿El derivado de la mentira conmutar con $\partial$?

Es bien sabido que en un % colector liso $M$, el derivado de la mentira conmuta con el derivado exterior, es decir, $${\cal L}_Xd\alpha=d{\cal L}_X\alpha$ $ para cualquier vector campo $X$y diferencial forma $\alpha$.

Si $M$ es una variedad compleja, hay un resultado similar para el derivado parcial $${\cal L}_X\partial\alpha=\partial{\cal L}_X\alpha?$ $

(Edición: por "similar" me refiero tal vez no tiene en esta forma, pero hay sin embargo una declaración análoga?)

4voto

Khushi Puntos 1266

Esto no es cierto como se indica.

Supongamos que es de $\alpha$ $d$-cerrado $(p, q)$-forma entonces $\partial\alpha = 0$, que $\mathcal{L}_X\partial\alpha = 0$. Por otro lado

$$\partial\mathcal{L}_X\alpha = \partial(di_X + i_Xd)\alpha = \partial di_X\alpha = \partial(\partial + \bar{\partial})i_X\alpha = \partial\bar{\partial}i_X\alpha.$$

Ahora que $M = \mathbb{C}$, $\alpha = dz$ y $X = |z|^2\partial_z$. Entonces tenemos

$$\partial\mathcal{L}_X\alpha = \partial\bar{\partial}i_X\alpha = \partial\bar{\partial}(i_{|z|^2\partial_z}dz) = \partial\bar{\partial}(dz(|z|^2\partial_z)) = \partial\bar{\partial}|z|^2 = dz\wedge d\bar{z} \neq 0.$$

No sé si hay un complejo análogo de la identidad $\mathcal{L}_X d\alpha = d\mathcal{L}_X\alpha$ que le permiten reemplazar % o $d$ $\partial$ $\bar{\partial}$.

2voto

jws Puntos 126

Es true si la compleja estructura es invariante bajo el campo del vector X. En ese caso: $\mathcal{L}_X \partial a = \mathcal{L}_X (1 - \imath J) da = (1 - \imath J)\mathcal{L}_X da = \partial \mathcal{L}_X a$. (Nota: esto está escrito con $a$ ser un escalar. Una forma de $(p,q)$ basta con escoger un proyector adecuado.)

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