¿Existe un anillo de pedida, con $\mathbb{Z}$ como un subanillo ordenado, tal que algún anillo de números enteros p-ádicos puede ser formado como un anillo cociente?

Question

No estoy seguro de si este lugar podría ser MathOverflow material, pero voy a darle una oportunidad aquí de todas formas.

Cualquier anillo de $R$ existen y que satisface las siguientes propiedades?

1. $R$ es totalmente ordenado, anillo conmutativo.
2. $R$ $\mathbb{Z}$ como un ordenado sub-anillo.
3. El orden en $R$, cuando se limita a $\mathbb{Z}$, es la costumbre de comprar en la $\mathbb{Z}$.
4. Existe algún número primo p tal que el anillo de p-ádico enteros $\mathbb{Z}_p$ puede ser construido como un cociente del anillo de $R$.

Yo también estoy muy curioso acerca de los anillos que podría satisfacer #1-3, y cualquiera de las siguientes variantes de #4:

• Para TODOS los números primos p, los diferentes anillos de p-ádico enteros $\mathbb{Z}_p$ puede ser construido como el cociente de los anillos de la misma $R$.

• En lugar de p-ádico enteros, el profinite terminación $\mathbb{\hat{Z}}$ de los números enteros puede ser construido como un cociente del anillo de $R$.

Estoy muy curioso por saber si un anillo podría existir. Y aparte de eso, también tengo curiosidad por si el análoga pregunta para los grupos que se mantiene, es decir, reemplazar "ordenó conmutativa anillo" con "ordenó abelian grupo", "sub-anillo" con "subgrupo" y tratar $\mathbb{Z}_p$ como un grupo donde la multiplicación ha sido olvidado.

EDIT: para agregar, estoy especialmente interesado en el caso de que $R$ es una parte integral de dominio, pero también estoy curioso acerca de $R$ que tiene divisores de cero.

Answer 1

Cualquier anillo de $R$ es el cociente del anillo de $\Bbb Z[R]$ (con una indeterminada $[x]$ por cada elemento de a $x \in R$) por el ideal generado por los elementos de a $[x] + [y] - [x+y], [0], [x]+[-x], [x]*[y] - [xy]$. (este es innecesariamente grande : si usted desea, usted puede usar un generador de $R$ en lugar de $R$ indeterminates).

Así que solo tenemos que mostrar que para cualquier conjunto a $S$, el anillo de $\Bbb Z[S]$ puede ser ordenado. Para hacer esto, elija cualquier orden total en $S$. Esto induce un orden lexicográfico en el monomials (de hecho, cualquier pedido en monomials tal que $x \le y \Leftrightarrow xz \le yz$ está bien), y un pedido en $R$ observando el signo del coeficiente del monomio de mayor peso.