¿Es mi resultado trig?

Question

Recientemente la determinó que todos enteros $a$ y $b$ tal que $a\neq b$ y $b\neq 0$,

$$ \arctan\left(\frac{a}{b}\right) + \frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{b+a}{b-a}\right) $$

Esto implica que 45 grados de cualquier ángulo con un valor racional para tangente se encuentra otro ángulo con un valor racional para tangente. Se relacionan con los valores de la tangentes.

Si alguien puede avisarme si esto ha sido hecho/demostrado/probado antes, por favor hágamelo saber. ¡Gracias!

Answer 1

Como está escrito, la fórmula no es cierto: los valores de $\arctan(x)$ están siempre entre el$-\frac{\pi}2$$\frac{\pi}{2}$. Elija un número racional $\frac{a}{b}$$\frac{\pi}{4}\lt \frac{a}{b}\lt \frac{\pi}{2}$. Por ejemplo, $a=11$, $b=10$. A continuación, el lado izquierdo, $$\arctan\left(\frac{11}{10}\right)+\frac{\pi}{4}\approx 1.6184$$ mientras que el lado derecho es negativo: $$\arctan\left(\frac{11+10}{10-11}\right) = \arctan(-21) \approx -1.5232.$$

Creo que lo que quieres decir es que si $\alpha$ es un ángulo tal que $\tan(\alpha)$ es racional, diferente de $1$, $$\tan(\alpha)=\frac{a}{b}\neq 1,\qquad a,b\text{ integers},$$ entonces $$\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{b+a}{b-a}.$$

Ciertamente, bien hecho si lo descubriste por ti mismo! Sin embargo, esto no es nuevo. De hecho, el resultado es cierto incluso si $a$ $b$ no son números enteros; todo lo que usted necesita es para $a$ a ser diferente de $b$, es decir, para $\alpha\neq\frac{\pi}{4}$.

No son bien conocidos fórmulas que expresan el seno, el coseno y la tangente de una suma de ángulos en términos de los senos, cosenos y tangentes de los sumandos:

$$\begin{align*} \sin(\alpha+\beta) &= \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\\ \cos(\alpha+\beta) &= \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)\\ \tan(\alpha+\beta) &= \frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}. \end{align*}$$ Tomando $\beta=\frac{\pi}{4}$, ya que el $\tan(\frac{\pi}4) = 1$, obtenemos $$\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{a}{b}+1}{1-\frac{a}{b}} = \frac{\quad\frac{a+b}{b}\quad}{\frac{b-a}{b}} = \frac{a+b}{b-a},$$ dando a su fórmula.

Answer 2

Si se diferenciar la función $$f(t)=\arctan t - \arctan\frac{1 + t}{1 - t},$$ you get zero, so the function is constant in each of the two intervals $(-\infty,1)$ and $(1,+\infty)$ on which it is defined.

• Su valor en cero es $\pi/2$, que $f(t)=-\pi/4$ % todo $t<1$, que $$ \arctan t + \frac\pi4 = \arctan\frac{1 + t}{1 - t},\qquad\forall t<1.$ $

• Por otra parte, se muestra fácilmente que $\lim_{t\to+\infty}f(t)=\frac{3\pi}{4}$, que $$ \arctan t - \frac{3\pi}4 = \arctan\frac{1 + t}{1 - t},\qquad\forall t>1.$ $

Si $t=a/b$ es un número racional menor que $1$, entonces el primer punto es su identidad. Si es mayor que $1$, vemos que hay que cambiar un poco las cosas.

Answer 3

Citando de Wikipedia lista de identidades trigonometricas:

EMPEZAR A CITAR

$$ f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha}, $$

[$\ldots\ldots$ algún material omitido aquí $\ldots\ldots$]

Si $x$ es la pendiente de una línea, $f(x)$ es la pendiente de su rotación a traves de un angulo de $-\alpha$.

FIN DE LA CITA

Dividiendo el numerador y el denominador por $\tan\alpha$ puede dar el mismo resultado como está publicada aquí.