Que $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una función dos veces diferenciable. Y $\eqalign {& M_0 = \sup \left|f (x) \right| \cr & M_1 = \sup \left|\frac{d}{dx} \right| f (x) \cr & M_2 = \sup \left|\frac{d^2}{dx^2} \right| f (x) \cr} $$ demostrar que $$M_1 ^2 \leqslant 4M_0 M_2$ $ no se me ocurre cómo puedo relacionar estos valores algunos desigualdad) =
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este es un ejercicio de Rudin los Principios de Análisis Matemático, si no recuerdo mal, donde aparece con una generosa sugerencia. Creo que la solución aludido se ejecuta de la siguiente manera.
Fix $x\in\mathbb R$. Para $h>0$, se puede expandir $f(x+2h)$ a través del teorema de Taylor: $$ f(x+2h) = f(x)+f'(x)2h+\frac{f"(\xi)}{2!}(2h)^2 $$ donde $\xi\in(x,x+2h)$. Así $$ f'(x)=\frac{1}{2h}\left[f(x+2h)-f(x)\right]-f"(\xi)h $$ Desde aquí se puede enlazado $|f'(x)|$: $$ |f'(x)|\leq\frac{1}{2h}|f(x+2h)-f(x)|+|f"(\xi)|h\leq\frac{M_0}{h}+M_2h. $$ Desde $x$ es arbitrario, que puede sustituir a $|f'(x)|$$M_1$. Si $M_2=0$, vamos a $h\to\infty$ conseguir $M_1=0$. De lo contrario, se reorganizan para obtener $$ 0\leq M_2h^2-M_1h+M_0=M_2\left(h-\frac{M_1}{2M_2}\right)^2+\frac{4M_2M_0-M_1^2}{4M_2}. $$ Tome $h=\frac{M_1}{2M_2}$ para obtener la desigualdad.
