Necesito tu ayuda con la integral $\int_0^\infty\frac{dx}{e^{\,e^{-x}} \cdot e^{\,e^{x}}}$ .

Question

¿Es posible evaluar esta integral de forma cerrada? $$\int_0^\infty\frac{dx}{e^{\,e^{-x}} \cdot e^{\,e^{x}}}$$

Answer 1

Esto equivale claramente a $$\int_0^{\infty}e^{-2\cosh x}dx=K_0(2).$$ Aquí $K_0(x)$ indica Función Macdonald que tiene representación integral $$K_{\nu}(r)=\int_0^{\infty}e^{-r\cosh x}\cosh\nu x\,dx.$$