Verificación de grupos simples finitos

Question

El clasificación de los grupos simples finitos requería miles de páginas en los diarios. El resultado final es que un grupo finito es simple si y sólo si está en una lista de 26 grupos esporádicos y varias familias de grupos.

Normalmente, en los teoremas de clasificación, demostrar que los elementos de la lista hacen lo que se supone que deben hacer es mucho más sencillo que demostrar que la lista está completa. ¿Es este el caso? ¿Qué dificultad tendría alguien que sólo conozca la teoría de grupos básica para verificar que los grupos de la lista son realmente grupos simples finitos?

Actualización : Para dividir un poco la pregunta, ¿qué partes de la verificación serían más fáciles, más difíciles, tediosas pero elementales, etc.? Por ejemplo, los grupos cíclicos primos son simples y triviales de verificar.

Answer 1

Probablemente la mejor fuente para esto sería el libro de texto (de nivel universitario) Los grupos simples finitos de R.A. Wilson. Tiene menos de 300 páginas y cubre todos los grupos simples finitos.

Demuestra la sencillez de todos ellos.

Demuestra la existencia y la singularidad de casi todos ellos.

Describe la interesante estructura de la mayoría de ellos.

Me ha parecido que sus explicaciones son bastante sencillas y que no requieren muchos conocimientos previos.

Si sólo te interesan algunos de los grupos simples finitos (los alternos, los clásicos, los chevalley, los esporádicos) entonces suele haber un conjunto de libros mejor (diferentes conjuntos de libros para cada tipo), pero si te interesan todos y quieres tener alguna esperanza de terminar en un tiempo prudencial, ¡este es el libro para ti!

Answer 2

Es difícil. Por ejemplo, si ves la prueba de que $PSL(2,q)$ , donde $q>3$ o $PSL(n,q)$ , donde $n>2$ (ver Teorema 12.10 y Teorema 12.13 de H.E Rose, A course on finite group), es un grupo simple finito, es relativamente difícil. También si ves la prueba de que los cinco grupos matemáticos son simples (ver B.Huppert, N.Blackburn, Finite group III), verás que es difícil. Que yo sepa, no hay un solo libro de texto que dé todas las pruebas. También las pruebas difieren de una clase de grupo a otra.