Demostrando que un Sylow subgrupo de un grupo de orden $p^{2}q$ es normal.

Question

Supongamos que tengo un grupo de $G$ orden $p^{2}q$ para los dos primos $p$$q$.

Necesito primer lugar, muestran que uno de sus subgrupos de Sylow es normal.

Empiezo dejando $H$ ser un Sylow $p$-subgrupo y $K$ ser un Sylow $q$-subgrupo.

Si $K$ no es normal, dejando $r$ denotar el número de Sylow $q$-subgrupos, tengo que $r|p^{2}$ $r\equiv 1$(mod $q$). También tengo por el segundo teorema de Sylow que $r\neq 1$.

Por lo $r = p$ o $p^{2}$.

Si $r = p^{2}$, puedo escribir el Sylow $q$-subgrupos, y el conde de la combinación de sus elementos para demostrar que $H$ está determinada únicamente y, a continuación, de nuevo implica Sylow número $2$ para obtener ese $H$ es normal.

Pero si $r = p$, entonces no veo cómo proceder. ¿Alguien puede dar algún consejo?

Gracias.

( Estoy feliz de proporcionar más detalles de la $r = p^{2}$ de los casos si se desea o apropiado. )

Answer 1

Que $N_q$ sea el número de Sylow $q$-subgrupos. A continuación, % o $N_q = 1$ $p$o $p^2$.

Supongamos que $N_q = p$. Desde $p \equiv 1$ (mod $q$), $p > q$. Del mismo modo si el número de Sylow $p$-subgrupo es $q$, $q > p$. Esto es una contradicción. Por lo tanto es solamente un Sylow $p$-subgrupo.

Supongamos que $N_q = p^2$. Entonces el número de elementos de orden $q$ es $p^2(q - 1)$. Por lo tanto el número de elementos de orden no es igual a $q$ es $p^2q - p^2(q - 1) = p^2$. Por lo tanto es solamente un Sylow $p$-subgrupo.

Answer 2

Como señaló $n_q=1,p,p^2$. Asumo $p<q$. Si $n_q=p$ $n_q=1+kq=p\Longrightarrow p>q$ lo cual es una contradicción. Si $n_q=p^2$, vamos a $Q_1, Q_2$ dos $q-$ subgrupo de sylow. Ambos son cíclicos de orden $q$. $Q_1\cap Q_2\le Q_1$ a continuación, $|Q_1\cap Q_2|\bigg|q$ $|Q_1\cap Q_2|=1$ o $=q$. si $|Q_1\cap Q_2|=q$ $Q_1\cap Q_2=Q_1$ lo cual es incorrecto por lo $|Q_1\cap Q_2|=1$. Por lo tanto, cada dos $q-$ subgrupo de sylow ha $1$ en común. Ahora enumerar todos los no-trivial elemento del grupo que se encuentran en estos $p^2$ subgrupos. Es como @Makoto señaló. Es exactamente el orden de una $p$ subgrupo de sylow de $G$. Ya que no hay ningún miembro compartida entre $p-$ subgrupos de sylow y $q-$ subgrupos de sylow de modo que el $p-$ sylow es normal en el grupo.