Evaluando $ \lim\limits_ {n \to\infty } \left ( \frac {1^p+2^p+3^p + \cdots + n^p}{n^p} - \frac {n}{p+1} \right )$

Question

Evaluar $$ \lim_ {n \to\infty } \left ( \frac {1^p+2^p+3^p + \cdots + n^p}{n^p} - \frac {n}{p+1} \right )$$

Answer 1

El resultado es más general.

Hecho: Para cualquier función $f$ definido en $[0,1]$ y con suficiente regularidad, presentar $$ A_n= \sum_ {k=1}^nf \left ( \frac {k}n \right ), \quad B= \int_0 ^1f(x) \mathrm dx, \quad C=f(1)-f(0). $$ Entonces.., $$ \lim\limits_ {n \to\infty }A_n-nB= \frac12C. $$

Para cualquier número real $p \gt0 $ si $f(x)=x^p$ se ve que $B= \frac1 {p+1}$ y $C=1$ que es el resultado de la pregunta.

Para probar el hecho mencionado anteriormente, comience con la fórmula de Taylor: para cada $0 \leqslant x \leqslant 1/n$ y $1 \leqslant k \leqslant n$ , $$ f(x+(k-1)/n)=f(k/n)-(1-x)f'(k/n)+u_{n,k}(x)/n, $$ donde $u_{n,k}(x) \to0 $ cuando $n \to\infty $ de manera uniforme en $k$ y $x$ digamos $|u_{n,k}(x)| \leqslant v_n$ con $v_n \to0 $ . Integrar esto en $[0,1/n]$ y sumando desde $k=1$ a $k=n$ uno obtiene $$ \int_0 ^1f(x) \mathrm dx= \frac1n\sum_ {k=1}^nf \left ( \frac {k}n \right )- \frac1n\int_0 ^{1/n}u \mathrm du \cdot\sum_ {k=1}^nf' \left ( \frac {k}n \right )+ \frac1nu_n , $$ donde $|u_n| \leqslant v_n$ . Reordenando, esto es $$ A_n=nB+ \frac12\frac1n\sum_ {k=1}^nf' \left ( \frac {k}n \right )-u_n=nB+ \frac12\int_0 ^1f'(x) \mathrm dx+r_n-u_n, $$ con $r_n \to0 $ gracias a la integrabilidad de la función de Riemann $f'$ en $[0,1]$ . La prueba está completa ya que $r_n-u_n \to0 $ y la última integral es $f(1)-f(0)=C$ .

Answer 2

Si dibujamos el gráfico de $x^p$ de $x=1$ a $x=n,$ dividirlo en intervalos de longitudes unitarias y aproximar cada segmento de área por un trapecio (esto se conoce como la regla trapezoidal) entonces vemos que $$ \int ^n_1 x^p dx \approx \sum_ {k=1}^n k^p - \frac {n^p+1}{2}.$$ La integral de la izquierda es precisamente $ \displaystyle \frac {n^{p+1} -1}{p+1},$ así que para los grandes $n$ (donde la mayor contribución es de los términos dominantes) tenemos $$ \sum_ {k=1}^n k^p \approx \frac {n^{p+1}}{p+1} + \frac {n^p}{2}$$ así que tu límite es $1/2.$

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Para una solución precisa, necesitamos el término de error junto con la regla trapezoidal, que se deriva aquí . Da..: $$ \int ^b_a f(x) dx = \frac {b-a}{2} ( f(a) + f(b) ) - \frac {(b-a)^3 }{12} f''( \zeta ) $$ para algunos $ \zeta \in [a,b].$ Para $f(x)=x^p$ tenemos $f''(x) = p (p-1)x^{p-2}$ que es el más grande en $x=b$ el punto final correcto. Así que la suma de los términos de error en nuestra aplicación de la regla trapezoidal es como máximo $$ \frac {p(p-1)}{12} (2^{p-2} + 3^{p-2} + \cdots + n^{p-2}).$$ La suma entre paréntesis está sobreestimada por $ \int ^{n+1}_1 x^{p-2} dx= \frac {(n+1)^{p-1}-1}{p-1},$ así que conseguimos que $$ \sum_ {k=1}^n k^p = \frac {n^{p+1}}{p+1} + \frac {n^p}{2} + E_n$$ donde $E_n$ es un término de error que satisface $ \displaystyle \lim_ {n \to\infty } \frac {E_n}{n^p} = 0$ lo que demuestra su límite.

Answer 3

otro método, usando el teorema de Stolz-Cesàro: que ${ x }_{ n }= \left ( p+1 \right ) \left ( { 1 }^{ p }+{ 2 }^{ p }+...+{ n }^{ p } \right ) -{ n }^{ p+1 },{ y }_{ n }= \left ( p+1 \right ) { n }^{ p }$ $$ \lim _{ x \rightarrow \infty }{ \frac { { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n } }{ { y }_{ n+1 }-{ y }_{ n } } = } \lim _{ x \rightarrow \infty }{ \frac { \left ( p+1 \right ) { \left ( n+1 \right ) }^{ p }-{ \left ( n+1 \right ) }^{ p+1 }+{ n }^{ p+1 } }{ \left ( p+1 \right ) \left ( { \left ( n+1 \right ) }^{ p }-{ n }^{ p } \right ) } = } \\ = \lim _{ x \rightarrow \infty }{ \left ( \frac { \left ( p+1 \right ) \left ( { n }^{ p }+p{ n }^{ p-1 }+ \frac { p \left ( p-1 \right ) }{ 2 } { n }^{ p-2 }+...+1 \right ) }{ \left ( p+1 \right ) \left ( { n }^{ p }+p{ n }^{ p-1 }+ \frac { p \left ( p-1 \right ) }{ 2 } { n }^{ p-2 }+...+1-{ n }^{ p } \right ) } \right ) + } \\ + \frac { -{ n }^{ p+1 }- \left ( p+1 \right ) { n }^{ p }- \frac { p \left ( p+1 \right ) }{ 2 } { n }^{ p-1 }-...-1+{ n }^{ p+1 } }{ \left ( p+1 \right ) \left ( { n }^{ p }+p{ n }^{ p-1 }+ \frac { p \left ( p-1 \right ) }{ 2 } { n }^{ p-2 }+...+1-{ n }^{ p } \right ) } $$ vamos a cobijar todos los coeficientes de n, luego dividiremos el numerador y el denominador por $n^{ p-1 }$ y definir la suma de todos los términos no más -1 potencia con $o \left ( \frac { 1 }{ n } \right ) $ $$ \\ \\ \lim _{ x \rightarrow \infty }{ \frac { { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n } }{ { y }_{ n+1 }-{ y }_{ n } } = } \lim _{ x \rightarrow \infty }{ \frac { \frac { p \left ( p+1 \right ) }{ 2 } +o \left ( \frac { 1 }{ n } \right ) }{ p \left ( p+1 \right ) + \left ( \frac { 1 }{ n } \right ) } = \frac { 1 }{ 2 } } \\ $$