el morfismo de $SL(2,\mathbb{Z})$ $SL(2,\mathbb{R})$

Question

¿Para cada morfismo $\rho: SL(2,\mathbb{Z}) \to GL(2,\mathbb{R})$, entonces el $Im(\rho)\subset SL(2,\mathbb{R})$? Gracias.

Answer 1

Se sabe que $SL(2,\mathbb{Z})$ es un producto amalgamado $\mathbb{Z}_4 \underset{\mathbb{Z}_2}{\ast} \mathbb{Z}_6$; más precisamente, tenemos la presentación $$SL(2,\mathbb{Z})= \langle x,y \mid x^4=y^6=1, x^2=y^3 \rangle.$$ Therefore, the map $x \mapsto \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{de la matriz} \right)$, $s \mapsto \mathrm{Id}$ extends to a morphism $SL(2,\mathbb{Z}) \a GL(2,\mathbb{R})$ whose image is not contained into $SL(2,\mathbb{R})$.

PD: cabe destacar que, a partir de la presentación anterior, cualquier morfismos $SL(2,\mathbb{Z}) \to GL(2,\mathbb{R})$ envía $y$ a una matriz de determinante $1$ $x$ a una matriz de determinante $\pm 1$.

Sin embargo, no hay ninguna matriz $M \in GL(2,\mathbb{R})$ satisfactorio $M^4=\mathrm{Id}$, $M^2 \neq \mathrm{Id}$ y $\det(M)=-1$.

De hecho, como una matriz sería diagonalizable sobre $\mathbb{C}$, y sus dos autovalores $\lambda_1,\lambda_2$ tendría que satisfacer $(\lambda_1,\lambda_2) \in \{ (\pm i, \mp i), (\pm 1, \pm 1), (\pm 1, \mp 1)\}$; pero $\lambda_1 \lambda_2= \det(M)=-1$ implica $(\lambda_1, \lambda_2)= (\pm 1, \mp 1)$, por lo tanto $M^2= \mathrm{Id}$.

Por lo tanto, si los morfismos se supone que uno-a-uno, su imagen está necesariamente contenida en $SL(2,\mathbb{R})$.

Answer 2

Uno puede escribir de manera bastante explícita un trivial surjective carácter $SL_2(\mathbf Z) \to \mu_{12}$, el grupo de $12$-th raíces de la unidad, esto puede ser fácilmente utilizado para la construcción de contra-ejemplos para lo que pides.

Este personaje viene de la teoría de las formas modulares: vamos a $\mathbf H$ ser la mitad superior del plano con su habitual acción de $ SL_2(\mathbf Z)$, e $Y=SL_2(\mathbf Z)\backslash\mathbf H$, considerado como un complejo-analítica del espacio. Existe una coherente gavilla $\omega$ $Y$ que es una línea de paquete lejos de los puntos correspondientes a las órbitas de $i, \rho$, y cuyas $12$th el poder es el trivial de la línea de paquete en la $Y$. (Este es el "Hodge paquete", que proviene de la familia de curvas elípticas vida a lo largo de $Y$.) Por el descenso, los datos de $\omega$ $Y$ determina un trivial cohomology de clase en $H^1(SL_2(\mathbf Z), \mathcal O^\times_{\mathbf H-S})$ donde $S$ consiste en la unión de las órbitas de $i$$\rho$$\mathbf H$. Por otra parte, esta clase es asesinado por el twelvth-mapa de poder en $\mathcal O^\times_{\mathbf H-S}$. Por el Kummer secuencia, esta clase radica en la imagen de $$H^1(SL_2(\mathbf Z), \mu_{12})= \text{Hom}(SL_2(\mathbf Z), \mu_{12})$$ in $H^1(SL_2(\mathbf Z), \mathcal O^\times_{\mathbf H-S})$. Therefore, there is an element of order $12$ in $\texto{Hom}(SL_2(\mathbf Z), \mu_{12})$.