Limsup de comprensión

Question

Mi libro de texto dice:

$$\overline{s}_n = \sup \{a_n \mid n \geq N\}$$

y $\operatorname{limsup} \{a_n\}_{n \to \infty} = \lim_{N \to \infty} \overline{s}_N$.

Además, dice: como $N$ consigue más grande, el sup se asume un conjunto más reducido, por lo que la secuencia de números $\{\overline{s}_n\}$ es monótona decreciente.

No entiendo por qué esto debe ser el caso. ¿Si tenemos una secuencia de $3-1/n$, entonces como $n$ consigue más grande, no los valores de la secuencia (y por lo tanto el supremums en cada intervalo) crecen?

Answer 1

Yo sé que usted ya ha aceptado una respuesta, pero nada hace como una imagen para mí. Imaginar nuestra secuencia hace algo como esto donde $n$ de aumento en el positivo $x$ dirección.

A continuación, el limsup de esta secuencia sería el redline (no el eje).

Pero si la secuencia se ve como esta,

nuestro limsup va a hacer esto.

Answer 2

Cuando me enteré de la existencia de $\limsup$ $\liminf$ me encontrado que es útil pensar en ellos como, respectivamente, la "eventual menos límite superior" y "eventual mayor límite inferior". Ellos son variantes de la LUB y GLB que evite tomar en cuenta cualquier número finito de (posiblemente "extravagante"), los términos de la secuencia, pero sólo los registros de la limitación de tendencia en lo alto o lo bajo los términos de conseguir.

Si usted toma cualquier conjunto $S$ de los números reales y quitar algunos valores para obtener un conjunto más pequeño $S' \subset S$,$\sup S' \leq \sup S$, por definición, cualquier límite superior de $S$ es un límite superior de $S'$, en particular la LUB de $S$). El punto clave, que creo que te falta, es que en la definición de $\limsup a_n$, $s_N$ se definen a través de todos los $n \geq N$, para un aumento de la secuencia como la que le dio, todos los $s_N$ son iguales (en este caso a $3$).

Answer 3

Significa disminuir "débil", por lo que no consiguen más pequeños, pero no consiguen más grandes. Echemos un vistazo a $3-1/n$. \begin{align} & \sup\left\{3 - \frac1 1, 3-\frac12,3-\frac13,3-\frac14,3-\frac15,\ldots\right\} \\[8pt] & \sup\left\{ 3-\frac12,3-\frac13,3-\frac14,3-\frac15,\ldots\right\} \\[8pt] & \sup\left\{3-\frac13,3-\frac14,3-\frac15,\ldots\right\} \\[8pt] & \sup\left\{3-\frac14,3-\frac15,\ldots\right\} \\[8pt] & {}\qquad \vdots \end {Alinee el}

La secuencia de suprema obtiene más pequeña (débil).

Answer 4

Esta analogía puede ayudar a: Imaginar un pistón en $+\infty$ mover hacia la izquierda hasta que se detuvo por la presencia de la secuencia de $a_1,a_2\ldots$. El lugar se detenga es el $\sup$ de la secuencia, que en su notación es $\overline s_1$, es decir, el primer elemento de la secuencia de $(\overline s_n)$. Ahora vamos a quitar el primer elemento $a_1$ de la secuencia original, esto puede o no puede cambiar el $\sup$ de la secuencia. Si va a cambiar el $\sup$, el pistón deslizar hacia la izquierda para un nuevo punto de $\overline s_2$. Si no, entonces el pistón no se mueve y $\overline s_2$ será el mismo que $\overline s_1$. En cualquier caso, $\overline s_2$ no puede ser mayor que $\overline s_1$. Luego quitamos el segundo elemento $a_2$, provocando que el pistón se desliza un poco más. Si seguimos haciendo esto el pistón mantener el deslizamiento, pero habrá un punto donde no puede ir más allá y esto es lo que llamamos el límite superior de la secuencia.

Ahora más formalmente la secuencia de $(\overline s_n)$ es no creciente, es decir, es monotono, por lo que el límite de la secuencia siempre existe en la prolongación de los números reales, y este límite, que es el infimum, es lo que llamamos el límite superior.