¿camino más corto a Tychonoff?

Question

¿Cuál es el "camino más corto" para el teorema de Tychonoff (el producto de espacios compactos es compacto)?

Por supuesto, no espero que nadie va significar esto. Estoy buscando un esquema de las principales etapas a lo largo del camino. Luego se pueden "conectar los puntos".

Por el "camino más corto", me refiero a la más rápida, el camino más directo para una prueba de que el teorema de Tychonoff para alguien que conoce los conceptos básicos de la teoría de conjuntos (uniones, intersecciones, complementos, productos Cartesianos, proyecciones), sabe lo que es una topología (abiertos y conjuntos cerrados, bases y subbases), y tiene las capacidades matemáticas de la perspicacia.

He mirado en varios libros de texto de topología general para esto, pero en todos ellos el teorema de Tychonoff se posiciona como un pináculo de la clase, e incluso me da la impresión de que los autores utilizan la "larga marcha" hacia este teorema como una exposición dispositivo para introducir una gran cantidad de maquinaria, mucho de lo que se acostumbra, por supuesto, en el teorema de la eventual prueba. Tengo la esperanza de que se haga una prueba directa es posible si uno no tiene esa agenda.

Answer 1

Para alguien que no ha sido expuesto previamente a filtros, probablemente la ruta más corta es por el Teorema de subbase de Alexander; el enlace da a ambos un esbozo bastante completo de la prueba de este teorema y la prueba muy fácil de ella del teorema de Tikhonov producto.

Answer 2

Mi prueba acerca de lo bonito que es una prueba de ello es: ¿se puede enseñar a alguien mientras está de pie en la cola en el comedor, en el vagón de metro?

El que me gusta más es la prueba a través de ultrafilters. Usted sólo tiene que declarar la apertura de un espacio topológico en términos de ultrafilters, que se obtiene fácilmente por la definición a través de open revestimientos.

X es compacto si y sólo si cada ultrafilter es convergente.

A continuación, se observa que

1 cualquier imagen de un ultrafilter es un ultrafilter (en particular, cualquier proyección de un espacio del producto)

2 cualquier filtro en el espacio del producto converge si y sólo si todos sus proyecciones convergen .

Usted realmente sólo necesita un par de definiciones y un par de propiedades naturales.

Answer 3

Me gusta mucho las secuencias como principales herramientas en espacios métricos. Así me gusta redes como herramientas principales de topología. El mensual matemática americana publicado "Una prueba Simple del teorema de Tychonoff vía redes" de Paul R. Chernoff (jstor). En menos de dos páginas que se presentan los ingredientes básicos y el teorema demostraron.

Answer 4

Sólo escaneé para usted dos hojas (1, 2) de un pequeño libro "Combinatoria de números" por Ihor Protasov. Aquí se puede ir desde la definición de un espacio topológico a la prueba del teorema de Tychonov. La prueba se basa en la noción de un ultrafiltro.

Answer 5

Mi favorito es el que utiliza el hecho de que: un espacio es compacto si cada red tiene subred convergente - si te sientes cómodo con las redes, prueba la prueba sugerida por Ittay Weiss.

De lo contrario, la prueba estándar que utiliza el lema de Zorn para una cobertura máxima sin subcover finito no es tan mala después de todo.