Una construcción difícil de regla y compás

Question

Tres puntos de $A,O,B$,$0<\theta=\widehat{AOB}<\frac{\pi}{3}$.
Se sabe que hay dos puntos de $A',B'$ en los segmentos de $OA,OB$ tal que $$ BB'=B'A'=A'A $$ sostiene. Cómo encontrarlos con regla y compás?

El problema es sencillo de resolver a través de la trigonometría: si establecemos $$OA=A,\;OB=b,\;\cos\theta=c,\; AA'=x$$ todo se reduce a la resolución de segundo grado ecuación: $$ (a-x)^2+(b-x)^2 - 2(a-x)(b-x)c = x^2, $$ pero yo no era capaz de encontrar una solución elegante a través de la regla y el compás solamente.

Answer 1

Gracias a Xaver, una solución sencilla (pero no tan trivial).

Lema 1. Si $P\in OA$ $Q\in OB$ cumple $PA=QB$, $PB\cap QA$ se encuentra en una línea de
que es paralela a la bisectriz del ángulo de $\widehat{AOB}$.

Lema 2. $C=AB'\cap A'B$ se encuentra en un círculo fijo $\Gamma$ a través de la incentro de $AOB$,
desde $\widehat{ACB}=\frac{\pi+\theta}{2}$.

Por lo tanto, vamos a $P$ ser un punto de $OA$ $Q$ la correspondiente a $Q$-punto en $OB$, como en el Lema 1.

Deje $D=BP\cap AQ$ $\ell$ ser la línea a través de $D$ que es paralela a la bisectriz del ángulo de $\widehat{AOB}$.

Deje $I$ ser el incentro de $AOB$ $\Gamma$ de la circunferencia circunscrita de $AIB$.

A continuación, $\color{blue}{C=\ell \cap \Gamma}$ $A',B'$ se encuentran fácilmente.

Answer 2

Que $S$ ser la intersección de $AB'$ y $BA'$. Que $\varphi:=\angle ASA'$. Luego siempre mantiene el $\theta+2\varphi=180°$.

Yo realmente no he trabajado los detalles, pero estoy seguro que esto ayuda a construir el % de segmentos $AB'$y $BA'$ (y por lo tanto $A'$ y $B'$).