Pregunté esta cuestión, que creo que la respuesta es "sí". Una de las razones sería que una matriz inversible tiene infinitamente muchas opciones para su determinante (excepto $0$), mientras que un no-invertible debe tener $0$ como determinante.
¿Tiene otro enfoque a esta pregunta, en términos de probabilidad por ejemplo?
Hay al menos tres maneras de decir que una matriz a través de los números reales es genéricamente invertible:
La topológico: el conjunto de matrices es invertible un denso conjunto abierto en el conjunto de todas las matrices.
El probabilístico: con la medida de Lebesgue en el conjunto de las matrices, el no invertible matrices son de medida cero.
El algebraicas: El conjunto de matrices es invertible abierto (y no vacío) de la topología de Zariski; de forma explícita, esto significa que existe un polinomio definido en los coeficientes de las matrices, de tal manera que el conjunto de invertir matrices es exactamente el conjunto donde este polinomio no es cero. Por supuesto, aquí el polinomio es el determinante de la función.
La observación de que su pregunta tiene sentido para matrices con coeficientes en un arbitrario infinito campo (finitas campos, estamos buscando finito de conjuntos...), y que todavía podemos decir que una matriz genéricamente es invertible en el sentido algebraico.
Para ampliar la respuesta de la papa, el espacio de todas las matrices de $n \times $ n es colector isomorfo a $\mathbb{R}^{n^2}$. El determinante da un suave la función de este espacio a $\mathbb{R}$ y por el teorema del valor regular la preimagen de cero (para que todos noninvertible $n \times $ n matrices) es una variedad de dimensión $\mathbb{R}^{n^2-1}$, que tiene medida cero en el espacio ambiente de todos matrices$ n $n \times.
Aquí es cómo me gusta pensar en ello. Una matriz $A$ es inversible $\iff$ $det(A) \neq 0$. Puesto que el factor determinante depende continuamente la entiries, si tenemos $A$ tal que $det (A) = 0$, deberíamos ser capaces de perturbar las entradas un poco para que $ $det(A) es distinto de cero. Además, si $det(A) \neq 0$, entonces cualquier pequeña perturbación de las entradas no hará $det(A)$ repentinamente $0$. Por lo que en este sentido, la mayoría de matrices inversible.
Creo que esto necesita trabajo, pero hay algo en ella: tomar un seleccionado al azar de la matriz $A$, y asociado a su polinomio característico $Det(A -\lambda I)$; este polinomio es también aleatorio. Este polinomio se tendrá $0$ como su raíz iff su término constante es 0. Pero la mayoría de los polinomios aleatorios no-cero término constante, por lo que no tendrá cero como su raíz. Como alternativa, considere la posibilidad de un polinomio característico con un cero de la raíz. Cualquier pequeño cambio en una entrada de la matriz va a cambiar el término constante desde $0$ a distinto de cero. Esta última afirmación puede ser más exacta/el rigor de uso de la topología: el conjunto de matrices con determinante distinto de cero es un subconjunto abierto de $Gl(n,\mathbb R)$, ya que es el complemento en $\mathbb R^{n^2}$ de el conjunto cerrado $Det^{-1}(0)$, de modo que cada uno distinto de cero de la matriz, visto como un punto en el espacio Euclidiano, tiene un radio alrededor de la cual su determinante es distinto de cero.
De dimensiones reducidas, se puede ver este geométricamente: por un valor de $2 \times 2$-matriz, su determinante es igual a $0$ iff "las entradas están en la misma línea que pasa por el origen" , lo que significa que los puntos $(a_{11}, a_{12})$ y $(a_{21},a_{22})$ están en la misma línea que pasa por el origen. Hay $c$ posibles pistas, y sólo una manera de que ambos puntos están en la misma línea a través de de $0$. Por un costo de $ 3 \times 3$-matriz, hay un argumento similar, ver la matriz como la medida del volumen encerrado por $3$ vectores en $\mathbb R^3$. El factor determinante es $0$ aquí si las filas, visto como puntos, son "degenerados". Los degenerados de los casos son finitely-muchos comparación con la no-degenerada.
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