Por qué no es necesario el Axioma de Elección a la hora de construir la "inversa" de una inyección?

Question

Supongamos $f:X\rightarrow Y$ es un surjection y quiere demostrar que no existe $g:Y\rightarrow X$ s.t. $f\circ g=\mathrm{id}_Y$. Usted necesita la CA para mostrar esto.

Sin embargo, supongamos $f$ es una inyección y desea mostrar no es $g$ s.t. $g\circ f=\mathrm{id}_X$. Entonces, según mi libro de texto, no es necesario el AC para mostrar esto.

Esto es contrario a la intuición para mí, porque es como si usted necesita un axioma para reclamar que un infinito producto de un gran conjunto es no vacío, mientras que no es necesario reclamar que un infinito producto de singleton conjuntos es vacío, que parece menor que la anterior.

Así que ¿por qué no necesitan los CA para mostrar el último?

EDIT: $X$ debe ser no vacío.

EDIT 2: me di cuenta de que (después de preguntar esto) que mi pregunta en su mayoría se refiere a si la CA es necesario decir que un infinito producto de finito de conjuntos es vacío, y por qué.

Answer 1

La necesidad de que el axioma de elección es elegir arbitraria de elementos. Inyectividad elimina esta necesidad.

Suponga que $A$ no está vacío, si $f\colon A\to B$ es inyectiva, esto significa que si $b\in B$ está en el rango de $f$, entonces no hay una única $a\in A$ tal que $f(a)=b$.

Esto significa que podemos definir (de$f$) ¿cuál es el $a$ a que nos envíe $b$.

Así que si $f$ no es a $B$ tenemos dos opciones:

1. $b\in B$ en el rango de $f$, luego tenemos exactamente una opción para el envío de $b$.
2. $b\in B$ no en el rango de $f$. Desde $A$ no está vacío fijar de antemano algunos $a_0\in A$ y enviar$b$$a_0$.

Otra forma de ver esto es dejar que los $B=B'\cup Rng(f)$ donde $B'\cap Rng(f)=\varnothing$. Fix $a_0\in A$ y definen $g|_{B'}(x)=a_0$. Para cada $b\in Rng(f)$ tenemos que $f^{-1}[\{b\}]=\{a\in A\mid f(a)=b\}$ es un singleton, por lo que sólo hay una función que se puede definir en: $$\prod_{b\in Rng(f)}f^{-1}[\{b\}]$$

Ahora vamos a la única función en el producto se $g|_{Rng(f)}$ y definen $g$ a ser la unión de estos dos.

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Su intuición acerca de la necesidad de que el axioma de elección es cierto para surjections, si $f$ fue surjective, a continuación, sólo sabemos que $f^{-1}[\{b\}]$ no está vacía para cada $b\in B$, y necesitamos todo el poder de el axioma de elección para asegurar que un arbitrario surjection tiene una función inversa.

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Editado pregunta:

El axioma de elección es necesario porque hemos modelos en los que el axioma de elección no espera, donde existe una familia infinita de pares cuyo producto está vacía.

Hay formas más débiles de que siga la elección de principios para finito de conjuntos. Sin embargo, estos aún no son demostrables a partir de ZF en su propio.

Como se indica por Chris Águila en los comentarios, y como les comente anteriormente, en un producto de embarazos únicos que no hay necesidad de que el axioma de elección ya que sólo hay una manera de elegir un singleton.

Leer más:

1. Finito elección sin AC
2. axioma de elección: la cardinalidad de general discontinuo de la unión