para resolver $x$: $\frac{\sin(x)}{x}=\frac{5}{6}$

Question

Es posible resuelva para x la siguiente ecuación sin raíz del hallazgo:

$$\frac{\sin(x)}{x}=\frac{5}{6}$$

Answer 1

No hay ninguna forma cerrada de la solución, pero desde $\sin(x)$ es una función cóncava en $(0,\pi)$$\sin'(0)=1$, no hay una única real y positiva solución a $\sin(x)=\frac{5}{6}x$. Podemos utilizar un paso de método de Newton con el punto de partida $x_0=1$ conseguir una estrecha aproximación de la solución: $$ x_1\approx 1-\frac{\sin 1-5/6}{\cos 1-5/6}\approx 1.02777. $$ Incluso un mejor punto de partida está dado por la solución de $$ \exp\left(\frac{5x^2}{x^2-30}\right)=\frac{5}{6} $$ es decir, por $$ x_0 = \sqrt{\frac{30 \log\left(\frac{6}{5}\right)}{5+\log\left(\frac{6}{5}\right)}}\approx 1.0273477$$ o por la solución de $$ \frac{60-7x^2}{60+3x^2}=\frac{5}{6}, $$ es decir, por $$ x_0 = 2\sqrt{\frac{5}{19}} \approx 1.026. $$ Mediante el uso de la Padé approximant en el origen $\frac{p(x)}{q(x)}$$\partial p=\partial q=4$, obtenemos la casi exacta de la solución de $$ x\approx \sqrt{\frac{2}{977} \left(13405-\sqrt{166152805}\right)}.$$

Answer 2

$$x=6/5\cdot\sin(6/5\cdot\sin(6/5\cdot \sin(6/5\cdot\sin(\cdots))))$$

Pero desde el punto de convergencia de vista de Newton es más rápido

Answer 3

Las ecuaciones que mezcla polinomio y trigonométricas en términos de no mostrar las soluciones analíticas (este es el caso de las $x=\cos(x)$) y métodos numéricos deben ser utilizados.

Sin embargo, algunas bastante buenas aproximaciones se pueden hacer y, por su curiosidad, te doy los enlaces a las dos preguntas de la mina (aquí y aquí).

El uso de la hermosa $$\sin(x) \simeq \frac{16 (\pi -x) x}{5 \pi ^2-4 (\pi -x) x}\qquad (0\leq x\leq\pi)$$ proposed by Mahabhaskariya of Bhaskara I, a seventh-century Indian mathematician, your equation becomes $$\frac{16 (\pi -x) x}{5 \pi ^2-4 (\pi -x) x}=\frac 56 x$$ which reduces to a simple quadratic $$-\frac{10 x^2}{3}+\left(\frac{10 \pi }{3}-16\right) x-\frac{25 \pi ^2}{6}+16 \pi=0$$ for which the solution to keep is $$x=\frac{1}{40} \left(-96+20 \pi +\sqrt{9216+3840 \pi -1600 \pi ^2}\right)\approx 1.02288 $$ while the exact solution, obtained using Newton method, would be $\aprox 1.02674$.

Ahora, sabiendo que la solución está cerca de a $1$, podríamos aproximar $\sin(x)$ usando el ejemplo más sencillo de Padé approximant construido en $x=1$; esto debería dar $$\sin(x)=\frac{\frac{1}{2} (x-1) (2 \cos (1)+\sin (1) \tan (1))+\sin (1)}{1+\frac{1}{2} (x-1) \bronceado (1)}$$ which, again, reduces to a quadratic the solution of which being $\aprox 1.02676$.

Otra forma podría ser la de utilizar la serie de Taylor de $\sin(x)$ $x=\frac \pi 3$ es $$\sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \left(x-\frac{\pi }{3}\right)-\frac{1}{4} \sqrt{3} \left(x-\frac{\pi }{3}\right)^2-\frac{1}{12} \left(x-\frac{\pi }{3}\right)^3+O\left(\left(x-\frac{\pi }{3}\right)^4\right)$$ Limiting to first order, the solution would then be $$x_{(1)}=\frac{1}{2} \left(3 \sqrt{3}-\pi \right)\approx 1.02728$$ Limiting to second order, the solution would then be $$x_{(2)}=\frac{1}{3} \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}+\pi +\sqrt{\frac{2}{3} \left(29-5 \sqrt{3} \pi \right)}\right)\aprox 1.02674$$