También estaría bien que alguien explicara este comentario que aparece en la página de Wikipedia sobre los complejos CW:
"La categoría de homotopía de los complejos CW es, en opinión de algunos expertos, la mejor, si no la única, candidata a categoría de homotopía".
Espero que lo que comente en la Wikipedia significa es que el homotopy categoría de CW complejos es el "derecho" homotopy categoría hasta equivalencia. Hay muchas otras maneras de producir el homotopy categoría, pero todos ellos de rendimiento de categorías equivalentes. La categoría de todos los espacios y homotopy clases de mapas no es equivalente a la homotopy categoría (al menos por el obvio functor) como demuestran estos ejemplos.
Una explicación completa del comentario de Wikipedia requeriría ahondar en la teoría de categorías de modelos con más detalle de lo que sería razonable aquí. Desgraciadamente, en este momento hay una escasez de buenos recursos sobre la teoría de categorías de modelos. Las referencias estándar son los libros de Hovey y Hirschhorn .
Una categoría modelo es una abstracción de los fundamentos de la teoría clásica de la homotopía. Proporciona un conjunto de estructuras que podemos utilizar para pasar de una categoría de objetos que deseamos estudiar a una categoría de homotopía asociada. En pocas palabras, la idea de construir una "buena" categoría de homotopía (de alguna categoría, que en este caso es la categoría de espacios) es hacer dos cosas. En primer lugar, queremos considerar que ciertas clases de mapas (a saber, las equivalencias débiles de homotopía) son invertibles. Esto se hace mediante la noción de localización de una categoría, que es análoga (de hecho, una generalización) a la noción de localización de un anillo. En segundo lugar, queremos sustituir cada objeto por un objeto que se comporte bien con respecto a las construcciones homotópicas. Son los "objetos fibrantes y cofibrantes". Por ejemplo, en álgebra homológica, sustituimos los complejos de cadena por resoluciones inyectivas cuasi-isomorfas para que se comporten bien con respecto a los funtores exactos de izquierda. En nuestro entorno, los complejos CW desempeñan este papel; es decir, podemos sustituir cualquier espacio por un complejo CW débilmente equivalente.
El papel de los complejos CW reales (en contraposición a los objetos fibrantes y cofibrantes generales, que pueden, por ejemplo, tener sólo el tipo de homotopía de un complejo CW) no es inmediatamente obvio a partir de las definiciones básicas. Proviene de una construcción más general en la teoría de categorías de modelos en la que la clase de cofibraciones puede reconstruirse a partir de pequeños conjuntos de cofibraciones generadoras. Las inclusiones de esferas como límites de n-bolas desempeñan este papel en la estructura del modelo de Quillen sobre espacios, y las cofibraciones que se construyen a partir de este conjunto generador son repliegues de complejos celulares relativos.
Como señala Reid en su respuesta, la categoría de homotopía de los complejos de CW sólo es "correcta" hasta la equivalencia; el hecho de que haya diferentes "categorías de homotopía" equivalentes de espacios se deriva del hecho de que hay diferentes (pero en cierto sentido equivalentes) estructuras modelo que uno puede poner en la categoría de espacios. En consecuencia, es al menos un poco importante tener cuidado con lo que entendemos por "la" categoría de homotopía.
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