Utilice $C^\infty$ para aproximar $W^{1,\infty}$ función en dominio finito

Question

Este es el ejercicio 10.21 del libro de Leoni.

El ejercicio me pide que demuestre que para cualquier $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ donde $\Omega$ es abierto FINITO, existe una secuencia $(u_n)\subset C^\infty(\Omega)$ tal que $$\|u_n-u\|_{L^\infty(\Omega)}\to 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$ y $$\|\nabla u_n\|_{L^\infty(\Omega)}\to \|\nabla u\|_{L^\infty(\Omega)}\,\,\text{with }\,\,\nabla u_n\to\nabla u \,\,\text{a.e.} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$ El ejercicio da una pista de que debería intentar modificar la prueba del teorema de Meyers-Serrin que muestra cada $W^{1,p}$ puede ser aproximada por $C^\infty$ función en $W^{1,p}$ norma.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Primero hago una reclamación. Supongamos que $U\subset R^n$ está abierto y $U'\subset\subset U$ . Por lo tanto, para $\epsilon>0$ lo suficientemente pequeño podemos definir $u_\epsilon:=\eta_\epsilon \ast u$ dentro de $U'$ donde $\eta_\epsilon$ es el molinero estándar. Entonces afirmo que hay una subsecuencia de $u_\epsilon$ , todavía se denota como $u_\epsilon$ , de tal manera que $u_\epsilon$ satisface $(1)$ y $(2)$ en $U'$ (con $\Omega$ sustituido por $U'$ ).

Para mostrar $u_\epsilon\to u$ uniformemente en $U'$ utilizo el teorema de Ascoli-Arzela. Claramente, a partir de la definición de molificación, tenemos $$\sup_{\epsilon>0}\|u_\epsilon\|_{L^{\infty}(U')}\leq \|u\|_{L^{\infty}(U)},\,\sup_{\epsilon>0}\|\nabla u_\epsilon\|_{L^{\infty}(U')}\leq \|\nabla u\|_{L^{\infty}(U)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$$ Por lo tanto, el teorema de ascoli-arzela establece que, hasta una subsecuencia, que $u_\epsilon\to u$ uniformemente, es decir, en $L^\infty(U')$ porque $U'$ es compacto. Esto da $(1)$ en $U'$ .

Para mostrar $(2)$ deducimos de $(3)$ que, hasta una subsecuencia, $\nabla u_\epsilon\to \nabla u$ en sentido de estrella débil, y por lo tanto tenemos $\liminf \|\nabla u_\epsilon\|\geq \|\nabla u\|$ junto con $(3)$ de nuevo, tenemos $\lim \|\nabla u_\epsilon\|=\|\nabla u\|$ . Al final, también tenemos $\nabla u_\epsilon\to \nabla u$ a.e., porque $u_\epsilon\to u$ en $W^{1,p}$ en cualquier dominio compacto.

Ahora volvamos a nuestra pregunta original. Utilizaremos la partición de la unidad como se utiliza en la demostración del teorema de Meyers-Serrin. La prueba está en la página 285. Es demasiado largo y no puedo escribirlo todo aquí. Usamos la misma partición de la unidad $\phi_i$ como se utiliza en el libro. Brevemente, spt $\phi_i\subset\subset \Omega_{i+1}\setminus\Omega_{i-1}$ y $\Omega=\cup \Omega_i$ para $\Omega_i\subset\subset \Omega_{i+1}$ . Entonces por mi reclamo podría elegir $\epsilon_i$ para cada $i$ de tal manera que, para un $\eta>0$ , $$\|(\phi_iu)_{\epsilon_i}-\phi_iu\|_{L^\infty(\Omega)}< \frac{\eta}{2^i} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)$$ y $$\left|\|\nabla (\phi_iu)_{\epsilon_i}\|_{L^\infty(\Omega)}- \|\nabla (\phi_iu)\|_{L^\infty(\Omega)}\right|<\frac{\eta}{2^i} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)$$

Hasta ahora me siento cómodo y confiado con mi prueba. Pero del resto NO estoy nada seguro.

Ahora definimos $v:=\sum_{i=1}^\infty (\phi_iu)_{\epsilon_i}$ y por $u=\sum_{i=1}^\infty (\phi_iu)$ Quiero concluir $$\|v-u\|_{L^\infty(\Omega)}\leq \eta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)$$ y $$\left|\|\nabla v\|_{L^\infty(\Omega)}- \|\nabla u\|_{L^\infty(\Omega)}\right|<\eta\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(7)$$

Y aquí está mi PREOCUPACIÓN.

1: NO estoy nada seguro de mi conclusión de $(6)$ y $(7)$ . Debería ser así, pero no puedo probarlo formalmente. Después de todo, $L^\infty$ la norma es tan diferente entonces $L^p$ norma. Nunca tengo thm de convergencia monótona en $L^\infty$ ni LDCT.

Gracias por la respuesta de @sanjab, pero mi preocupación sigue siendo.

Más concretamente, nunca tenemos $$\lim_{n\to \infty}\|\chi_{\Omega_n}u\|_{L^\infty(\Omega)} = \|u\|_{L^\infty(\Omega)}$$ Es decir, acepto la respuesta de @sanjab de que

$$\|v_l-u_l\|_{L^\infty(\Omega_l)} \leq \sum_{i=1}^l \|(\phi_iu)_{\epsilon_i}-\phi_iu\|_{L^\infty(\Omega)}< \sum_{i=1}^l \frac{\eta}{2^i} \leq \eta$$

y por lo tanto $$\limsup_{l\to\infty}\|v_l-u_l\|_{L^\infty(\Omega_l)} \leq \eta$$

Sin embargo, puede ocurrir que $$\limsup_{l\to\infty}\|v_l-u_l\|_{L^\infty(\Omega_l)}<\|v-u\|_{L^\infty(\Omega)}$$ pero no $$\limsup_{l\to\infty}\|v_l-u_l\|_{L^\infty(\Omega_l)}=\|v-u\|_{L^\infty(\Omega)}$$ por lo que perdemos el límite superior.

Entiendo que este caso no ocurrirá si $u$ es continua. Pero como no tenemos control del dominio, no podemos utilizar el teorema de la incrustación para concluir que $u$ es realmente Lipschitz.

2: Hasta ahora NUNCA he utilizado el hecho de que el $\Omega$ es finito. Así que, o demuestro una versión más fuerte que este ejercicio, o cometo algún error en mi demostración. (Creo que la segunda suposición se mantendrá :))

¡Por favor, ayuda! Gracias.

Answer 1

$$\|(\phi_iu)_{\epsilon_i}-\phi_iu\|_{L^\infty(\Omega)}< \frac{\eta}{2^i} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)$$ y $$\left|\|\nabla (\phi_iu)_{\epsilon_i}\|_{L^\infty(\Omega)}- \|\nabla (\phi_iu)\|_{L^\infty(\Omega)}\right|<\frac{\eta}{2^i} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)$$

Hasta ahora me siento cómodo y confiado con mi prueba. Pero del resto no estoy NO estoy seguro en absoluto.

Ahora definimos $v:=\sum_{i=1}^\infty (\phi_iu)_{\epsilon_i}$ y por $u=\sum_{i=1}^\infty (\phi_iu)$ Quiero concluir $$\|v-u\|_{L^\infty(\Omega)}\leq \eta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)$$ y $$\left|\|\nabla v\|_{L^\infty(\Omega)}- \|\nabla u\|_{L^\infty(\Omega)}\right|<\eta\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(7)$$

La prueba a partir de aquí debería funcionar igual que en el libro. $$v_l:=\sum_{i=1}^l (\phi_iu)_{\epsilon_i}$$ $$u_l=\sum_{i=1}^l (\phi_iu)$$

$$\|v_l-u_l\|_{L^\infty(\Omega_l)} \leq \sum_{i=1}^l \|(\phi_iu)_{\epsilon_i}-\phi_iu\|_{L^\infty(\Omega)}< \sum_{i=1}^l \frac{\eta}{2^i} \leq \eta$$

Todos esos son números reales. La secuencia está limitada por $\eta$ y monótona, por lo tanto converge por convergencia monótona de Lebesgue (Convergencia de una secuencia monótona de números reales).